\[\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\belowarrow}[1]{\mathop{#1}\limits_{\uparrow}} \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \newcommand{\tx}{\text} \newcommand{\L}{\mathscr{L}} \newcommand{\p}{\partial\,} \end{align*}\]

Source Follower

common-source stage requires a large load impedance to achieve a high voltage gain, if the load is low-impedance, we need a source follower be placed after the amplifier to act as a buffer.

From Fig. 3.35, we have (apply KVL to output)

\[V_\tx{out} = (g_m V_1 + g_{mb} V_{bs})R_S\\ \tx{where } \begin{aligned} V_1 &= V_\tx{in}-V_\tx{out}\\ V_{bs} &= -V_\tx{out} \end{aligned}\]

整理后：

\[V_\tx{out} = (g_m V_\tx{in} - g_m V_\tx{out}-g_{mb}V_\tx{out})R_S\\ A_v=\frac{V_\tx{out}}{V_\tx{in}}=\frac{g_m R_S}{1+(g_m+g_{mb})R_S}\\ =\frac{g_m}{1/R_S+g_m+g_{mb}}\]

我们也可以用饱和区 $I_D$ 与 $V_{GS}$ 的关系式来求：

\[\frac{1}{2}\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}(V_\tx{in}-V_\tx{out}-V_\tx{TH})^2 R_S = V_\tx{out}\]

这个过程比较复杂，一堆微分，咱就不写了。有兴趣的同学自行点开下面的推导。

利用 $I_D$ 与 $V_{GS}$ 的关系式求 $A_v$

哈哈，上当了吧！

如果将 $A_v$ 改写为：

\[A_v=\dfrac{R_S}{1/g_m+(1+g_{mb}/g_m)R_S}\\ \approx \dfrac{R_S}{(1+g_{mb}/g_m)R_S}\\ \approx \dfrac{1}{1+\eta}\]

考虑到 $\eta$ 随 $V_\tx{in}$ 增大而减小（为什么？因为 $V_\tx{in}$ 增大会导致 $V_{SB}$ 增大），所以我们有图 Fig. 3.36

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为了提高线性性，我们可以把 $R_S$ 替换为一个电流源：

这样的话就能增大电阻，我们可以近似看作短路，这样的话，从 Fig. 3.38 可知，$g_mV_1=0$，即 $V_1=0$，这样 $V_\tx{out}=V_\tx{in}$

如果我们考虑上体效应（Fig. 3.39），那么相应的输出电阻为：

\[I_X-g_m V_X-g_{mb}V_X=0\\ R_\tx{out}=\frac {1}{g_m+g_{mb}}=\frac{1}{g_m}\Vert \frac{1}{g_{mb}}\]

是不是和前面说的 diode-connected MOS 很像！！这里再次验证了从源端看进去的电阻为 $\frac{1}{g_m}\Vert \frac{1}{g_{mb}}$（再次强调，前提是不考虑 $r_O$）

书中还列举了其他方法计算 $V_\tx{out}$，这里就不介绍了。我们可以直接写出 $A_v$（简单地将之前的 $R_S$ 设为无穷大）：

\[\begin{aligned} A_v &= g_m R_\tx{out}\\ &=\frac{g_m}{g_m+g_{mb}}\\ &= \frac{1}{1+\eta} \end{aligned}\]

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最后我们考虑一下带负载的情况。

注意到小信号模型中，可以用等效电阻 $R_\tx{eq}=(1/g_{mb})\Vert r_{O1} \Vert r_{O2} \Vert R_L$ 简化为 Fig. 3.42(a) 的形式，从而输出为：

\[\begin{aligned} A_v &= \frac{R_\tx{eq}}{R_\tx{eq}+\dfrac{1}{g_m}} \\ &= \frac{g_m}{g_m + \dfrac{1}{R_\tx{eq}}} \end{aligned} \tag{3.96}\]

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最后我们来说一下 Source Follower 的缺点，Source followers exhibit a high input impedance and a moderate output impedance, but at the cost of two drawbacks:

• nonlinearity
  • The nonlinear dependence of $V_\tx{TH}$ upon the source potential
  • In submicron technologies, $r_O$ of the transistor also changes substantially with $V_{DS}$ (Chapter 14)
  • body effect (PFETs’ body effect can be eliminated by tying bulk to souce)
• voltage headroom limitation
  • Source followers shift the dc level of the signal by $V_{GS}$, consider the example in Figure 3.45
  • Without the source follower, the minimum value of $V_X$ is $V_{GS1}-V_\tx{TH1}$
  • With the source follower, the minimum value of $V_X$ is $V_{GS2}+(V_{GS1}-V_\tx{TH1})$

Summary

\[A_v = \frac{g_m}{g_m+g_{mb}+\dfrac{1}{r_O}+\dfrac{1}{R_S}+\dfrac{1}{R_L}}\]

我们可以这样记忆：分子和之前一样是 $g_m$，分母是 $V_\tx{out}$ 上下所有 电导 的并联（即 $G_\tx{out}$）。另外，分母就是输出导抗（可以看出输出阻抗很小）

挑战：写出下面电路的 $A_v$

根据上面的总结，我们可以轻松写出：
$$ A_v = \frac{g_{m1}}{g_{m1}+g_{m2}+g_{mb2}+1/r_{O2}+1/r_{O1}} $$