\[\begin{align*}
\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\p}{\partial}
\end{align*}\]
时变跨导电路分析
$v_0$ 是振幅较大的简谐振荡电压，$v_s$ 是振幅较小的任意形式电压信号。我们可以认为 器件参量受 $v_0+V_{BB}$ 控制，在 $v_0+V_{BB}$ 一定时，器件在 $v_s$ 变化范围内可视作线性，即工作点为：
\[v_B=V_{BB}+V_{0m}\cos\omega_0t\]我们设 $i_c=f(v_{BE})=f(v_B+v_s)$，用泰勒级数在 $v_B$ 点展开，得：
\[\begin{align} i_c\approx f(v_B)+f'(v_B)v_s\\ =f(V_{BB}+V_{0m}\cos\omega_0t)+f'(V_{BB}+V_{0m}\cos\omega_0t)\cdot V_{sm}\cos\omega_s t \end{align}\]模拟乘法器电路分析
我们考虑上图中的差分对乘法器（differential multipler）。差分对管 $T_1$ 和 $T_2$ 的特性方程为：
\[i_{E1}=I_se^{q\,v_{BE1}/kT}\\ i_{E2}=I_se^{q\,v_{BE2}/kT}\]从而 $T_3$ 的集电极电流 $i_0$ 为：
\[\begin{align} i_0&=i_{E1}+i_{E2}=i_{E1}\left( 1+\frac{i_{E2}}{i_{E1}} \right)\\ &=i_{E1}(1+e^{-qv_1/kT}) \end{align}\]由上式，以及共基极电流放大系数的定义 $i_C=\alpha i_E$，我们有：
\[i_{C1}=\alpha i_{E1}=\frac{\alpha i_0}{1+e^{-z}}\\ i_{C2}=\alpha i_{E2}=\frac{\alpha i_0}{1+e^{z}}\]开关函数分析
某些电路中，非线性元件受大信号控制，轮换地导通或截止，此时大信号起到开关的作用。如下图，电路受大信号 $v_2=V_x\cos\omega_2t$ 控制：
此时，电流的表达式为：
\[i= \begin{cases} \frac{1}{r_d+R_L}(v_1+v_2) & (v_2>0)\\ 0 & (v_2<0) \end{cases}\]可以看出，二极管相当于一个受 $v_2$ 控制的开关，即：
我们可以用开关函数表示二极管：
\[S(t)= \begin{cases} 1 & (v_2>0)\\ 0 & (v_2<0) \end{cases}\]从而，$i=\frac{1}{r_d+R_L}S(t)(v_1+v_2)$。
我们将 $S(t)$ 展开为傅里叶级数：
\[S(t)=\frac{1}{2} \left[ 1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\cdot(-1)^{n+1}}{(2n-1)\pi}\cos(2n-1)\omega_2t \right]\]并代入 $i$：
\[i=\frac{1}{2(r_d+R_L)} \left[ v_1+v_2+v_1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\cdot(-1)^{n+1}}{(2n-1)\pi}\cos(2n-1)\omega_2t + v_2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\cdot(-1)^{n+1}}{(2n-1)\pi}\cos(2n-1)\omega_2t \right]\]可以看出，电流 $i$ 中包含以下频谱：
- $\omega_1$，$\omega_2$ 原本的频率
- $\omega_1\pm(2n-1)\omega_2$，$n=1,2,\cdots$ 频率的和差
- $\omega_2\pm(2n-1)\omega_2$，$n=1,2,\cdots$，偶次谐波，包括直流
后续通过带通滤波器，就能得到所需的频率。