变频器与混频器

\[\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial} \end{align*}\]

变频器

变频器的作用就是将高频信号经过频率变换，变为一个固定频率，同时保持调制规律不变。有时也称为混频器。

主要指标

变频增益：变频电压增益：输出电压振幅与高频输入信号电压振幅之比 $A_{v0}=\frac{V_{im}}{V_{sm}}$；变频功率增益：中频输出功率/高频输入信号功率。
失真（distortion）包括线性失真（频率失真）与非线性失真。
干扰（interference）
选择性
噪声系数

晶体管混频器

晶体管混频器按组态分可以分为：

共射
共基

我们认为，晶体管的跨导只受 $v_0$ 影响作 $\omega_0$ 周期性地变化。根据之前的分析，集电极电流为：

\[\begin{align} i&=f(v_{BE})=f(V_{BB}+v_0+v_s)\\ &=(I_{c0}+I_{cm1}\cos \omega_0 t+I_{cm1}\cos 2\omega_0 t+\cdots)\\ &\quad +(g_0+g_1\cos\omega_0t+g_2\cos2\omega_0t_+\cdots)\cdot V_{sm}\cos\omega_st \end{align}\]

我们从中分离中频 $\omega_i=\omega_0-\omega_s$ 的分量：

\[i_{im}=V_{sm}\frac{g_1}{2}\cos(\omega_0-\omega_s)t\]

我们定义变频跨导 $g_c=\frac{I_{im}}{V_{sm}}=\frac{1}{2}g_1$

而总的跨导为：

\[g(t)=g_0+g_1\cos\omega_0t+g_2\cos2\omega_0t_+\cdots\\ 其中，g_1=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} g(t)\cos\omega_0t\dif t\]

我们进行一定的近似，只取前两项：$g(t)=g_0+g_1\cos\omega_0t$

若 $g_\max\gg g_\min$，即 $g_1\approx g_0$，那么我们可以认为变频跨导：

\[g_c=\frac{1}{2}g_1=\frac{g_\max}{4}\]

实验证明：

\[g_c=(0.35\sim0.7)\frac{I_E/26}{\sqrt{1+\left( \frac{\omega_s}{\omega_T}\cdot\frac{I_E}{26}r_{bb'} \right)}}\]

于是我们将电路等效为：

因此得到：

\[输出电压：V_i=\frac{g_cV_s}{g_{oc}+G_L}\\ 变频电压增益：A_{vc}=\frac{V_i}{V_s}=\frac{g_c}{g_{oc}+G_L}\\ 变频功率增益：A_{pc}=\frac{V_i^2G_L}{V_s^2 g_{ie}}=\frac{g_c^2}{(g_{oc}+G_L)^2}\cdot\frac{G_L}{g_{ie}}=A_{vc}^2\frac{G_L}{g_{ie}}\\ G_L=g_{oc} 时，有最大变频功率增益：A_{pc\max}=\frac{g_c^2}{4g_{ie}g_{oc}}\]

二极管混频器

二极管平衡混频器

如图，二极管可以看作受 $v_0$ 控制的开关，故我们有：

\[i_1=\frac{1}{r_d+R_L}S(t)(\frac{1}{2}v_s+v_0)\\ i_2=\frac{1}{r_d+R_L}S(t)(v_0-\frac{1}{2}v_s)\\ S(t)=\frac{1}{2} +\frac{2}{\pi}\cos\omega_0t-\frac{2}{3\pi}\cos3\omega_0t+\frac{2}{5\pi}\cos5\omega_0t+\cdots\]

变压器的输出与 $i_1-i_2$ 成比例：

\[i=i_1-i_2=\frac{1}{r_d+R_L}S(t)v_s\\ =\frac{1}{r_d+R_L}(\frac{1}{2} +\frac{2}{\pi}\cos\omega_0t-\frac{2}{3\pi}\cos3\omega_0t+\frac{2}{5\pi}\cos5\omega_0t+\cdots)V_{sm}\cos\omega_st\]

从而得到频率分量 $\omega_s$ 和 $(2n-1)\omega_0\pm\omega_s$

环形混频器（双平衡混频器）

此时的开关函数分为可以分为：正半周 $S(t)$ 和负半周 $S^*(t)=S(t+\frac{T}{2})$，也就是下图：

我们从上一节的结论直接推出：

\[i=i'+i''\\ i'=i_1-i_3=\frac{1}{r_d+R_L}S(t)v_s\\ i''=i_4-i_2=\frac{-1}{r_d+R_L}S^*(t)v_s\] \[S(t)=\frac{1}{2} +\frac{2}{\pi}\cos\omega_0t-\frac{2}{3\pi}\cos3\omega_0t+\frac{2}{5\pi}\cos5\omega_0t+\cdots\\ S^*(t)=\frac{1}{2} -\frac{2}{\pi}\cos\omega_0t+\frac{2}{3\pi}\cos3\omega_0t-\frac{2}{5\pi}\cos5\omega_0t-\cdots\\ S(t)-S^*(t)=\frac{4}{\pi}\cos\omega_0t-\frac{4}{3\pi}\cos3\omega_0t+\frac{4}{5\pi}\cos5\omega_0t+\cdots\]

因此，最终变压器得到的电流为：

\[i=\frac{1}{r_d+R_L}\left[ \frac{4}{\pi}\cos\omega_0t-\frac{4}{3\pi}\cos3\omega_0t+\frac{4}{5\pi}\cos5\omega_0t+\cdots \right]v_s\]