LC振荡器

\[\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial}\]

LCR回路中的瞬变现象

对于LCR回路的零输入响应，我们可以列出 KVL 式：

\[L\frac{\dif i}{\dif t}+Ri+\frac{1}{C} \int i\dif t=0\\ \rightarrow \frac{\dif^2 t}{\dif t^2}+\frac{L}{R}\frac{\dif i}{\dif t} + \frac{1}{LC} i=0\]

我们定义 $\delta=\frac{R}{2L}$ 为回路的衰减系数，$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ 为回路的固有角频率。从而得到下式：

\[\frac{\dif^2 t}{\dif t^2}+2\delta\frac{\dif i}{\dif t} + \omega_0^2 i=0\]

这是一个常系数线性ODE方程，其通解为 $i=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}$，其中，$r_1,r_2$ 是特征根。再由初始条件：$\left. i \right\vert_{t=0}=0$ 和 $L \left( \frac{\dif i}{\dif t} \right)_{t=0}=0$，我们得到：

\[i=\frac{-V}{2L\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}} e^{-\delta t} \left( e^{t\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}}-e^{-t\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}} \right)\]

根据 $\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}$ 的值，我们可以分成下列三种情况：

$\delta^2>\omega_0^2$，则：
\[i=\frac{-V}{L\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}} e^{-\delta t}\sinh(\sqrt{\delta^2-\omega_0^2})\]
此时称为过阻尼。
$\delta^2=\omega_0^2$，则：
\[i=\frac{-V}{L}te^{-\delta t}\]
此时称为临界阻尼。
$\delta^2<\omega_0^2$，我们令 $j\omega=\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}$ 则：
\[i=\frac{-V}{\omega L} e^{-\delta t} \sin\omega t\]
此时称为欠阻尼（自由振荡），并可以进一步分为下面三种情况：

综上，为了获取等幅振荡，我们需要满足三个条件：

包含两个储能元件，一个释放能量，一个接收能量；（L、C）
必需使 R=0，也就是说，我们需要一个电源补充电路损失；（Vcc）
有一个控制电路，使电源在正确时刻补充能量损失。（晶体管和正反馈）

正反馈

上图为反馈放大器的方框图。模电中已经知道，闭环增益为：

\[\dot{A}_f = \frac{\dot{A}_0}{1-\dot{A}_0\dot{F}}\]

写一下下推导过程：

\[\dot{F}=\frac{\dot{V}_f}{\dot{V}_0}\quad \dot{A}_0=\frac{V_o}{V_i}\\ \dot{A}_f = \frac{\dot{V}_o}{\dot{V}_i-\dot{V}_f}=\frac{\dot{V}_o}{\frac{\dot{V}_o}{\dot{A}_0}-\dot{F}\dot{V}_0}=\frac{\dot{A}_0}{1-\dot{A}_0\dot{F}}\]

振荡条件为：反馈系数 $\dot{F}=\frac{1}{\dot{A}_0}$ 或 $1-\dot{A}_0\dot{F}=0$，此时 $\dot{A}_f\rightarrow\infty$

振荡器的平衡与稳定条件

平衡条件

考虑到振荡器起振后，随着振荡幅度的不断增长，放大器从甲类迅速过渡到丙类工作状态

稳定条件

相位

如果相位平衡遭到破坏，即 $\dot{V}_f$ 比原输入 $\dot{V}_i$ 超前 $\Delta \varphi$，周期就会缩短，频率 $\omega$ 就会增加，反之减小。也就是相位与频率的变化量满足 $\Delta \omega/\Delta \varphi > 0$。因此为了保持相位稳定，要使得 $\Delta \omega/\Delta \varphi < 0$，即：

\[\frac{\p \varphi}{\p \omega}<0\\\]

一般忽略 $\varphi_Y+\varphi_F$，只

可见只有当相频特性曲线 $\varphi_z = f(\omega)$ 的斜率为负时，才能满足相位稳定条件。而恰好，LC并联谐振回路满足相频特性为负。