\[\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\p}{\partial}\]
角度调制与幅度调制的区别
调频波的指标
频谱宽度：宽带调频、窄带调频 寄生调幅： 抗干扰能力：信号较弱时，宜采用窄带调频
鉴频器
调频/调相信号解调可以采用频率检波器（鉴频器）或鉴相器。鉴频可以分为：
- 将等幅调频波变化为幅度随频率变化的调幅-调频波，然后用振幅检波器检测出原信号
- 脉冲计数式鉴频器：通过调频波通过零点的数目进行技术，直接获得频率信息。优点是线性良好
- 移相
鉴频器的指标：
- 鉴频跨导：输出电压与输入调频波的瞬时频率偏移之比，要求尽可能大，对频率尽可能敏感
- 鉴频灵敏度：使鉴频器正常工作所需的最小调频波幅度
- 鉴频频带宽度：线性区域的宽度
- 寄生调幅抑制能力
- 失真和稳定性：对温度和电源变化的稳定性
数学表达式
角频率与相位的关系就像速度与路程，角频率积分得到相位，相位微分得到角频率。了解这点后，我们来看看调频、调相的数学表达式
设调制信号：$v_\Omega(t)=V_\Omega \cos(\Omega t)$，载波信号：$a(t)=A_0\cos\theta(t)$
- 对于调频波，角频率随调制信号线性变化：$\omega(t)=\omega_0+k_f v_\Omega(t)$，$k_f$ 为比例常数。
- 而瞬时相位是角频率的积分：$\theta(t)=\omega_0 t+k_f\int_o^t v_\Omega(t)\dif t$
其频移为：$\Delta \omega(t)=k_f v_\Omega(t)$，最大频移 $\Delta \omega_f=k_f V_\Omega$. 我们定义 最大相移 为 调频波的调制指数：
\[m_f=k_f \vert \int_0^t v_\Omega(t)\dif t \vert=\frac{k_f V_\Omega}{\Omega}=\frac{\Delta \omega_f}{\Omega}\]从而调频波的表达式为：
\[a(t)=A_0 \cos \left[ \omega_0 t+k_f\int_o^t v_\Omega(t)\dif t \right]\\ =A_0\cos(\omega_0 t+\frac{k_f V_\Omega}{\Omega}\sin\Omega t)\]设调制信号：$v_\Omega(t)=V_\Omega \cos(\Omega t)$，载波信号：$a(t)=A_0\cos\theta(t)$
- 对于调相波，相位随频率线性变化：$\theta(t)=\omega_0t+k_p v_\Omega(t)$，$k_p$ 为比例常数
- 而瞬时频率是相位的积分：$\omega(t)=\omega_0 + k_p \frac{\dif}{\dif t} v_\Omega(t)$
其频移为：$\Delta \omega(t)=k_p \frac{\dif}{\dif t} v_\Omega(t)$，最大频移 $\Delta \omega_p=k_f \Omega V_\Omega$. 同样定义 最大相移 为 调制指数：
\[m_p=k_p\vert v_\Omega(t) \vert_\max=k_p V_\Omega=\frac{\Delta \omega_p}{\Omega}\]从而调相波的表达式为：
\[a(t)=A_0\cos[\omega_0 t+k_pv_\Omega(t)]\\ =A_0\cos[\omega_0 t+k_pV_\Omega \cos \Omega t]\]总结为下表：
| 调频 | 调相 | |
|---|---|---|
| 频率 | $\omega(t)=\omega_0+k_f v_\Omega(t)$ | $\omega(t)=\omega_0 + k_p \frac{\dif}{\dif t} v_\Omega(t)$ |
| 频移 | $k_f v_\Omega(t)$ | $k_p \frac{\dif}{\dif t} v_\Omega(t)$ |
| 相位 | $\theta(t)=\omega_0 t+k_f\int_o^t v_\Omega(t)\dif t$ | $\theta(t)=\omega_0t+k_p v_\Omega(t)$ |
| 相移 | $k_f\int_o^t v_\Omega(t)\dif t$ | $k_p v_\Omega(t)$ |
| 表达式 | ||
| 调制指数 |
频谱
\[a_f(t)=\cos\omega_0 t \cdot \cos(m_f \sin\Omega t)-\sin \omega_0 t \cdot \sin (m_f \sin\omega t)\]式中：
\[\cos(m_f \sin\Omega t)=J_0(m_f)+2\sum_{n=1}^\infty J_{2n} (m_f) \cos 2n\Omega t\\ \sin (m_f \sin\Omega t)=2\sum_{n=0}^{\infty} J_{2n+1} \sin(2n+1)\Omega t\]其中，$J_n(m_f)$ 是以 $m_f$ 为参数的 $n$ 阶第一类贝塞尔函数。代入后得到：
\[\begin{align} a_f (t) = &J_0(m_f)\cos \omega_0 t &载频\\ &+ J_1(m_f) \cos(\omega_0 + \Omega) t-J_1(m_f)\cos(\omega_0-\Omega) t &第一对边频\\ &+ J_2(m_f) \cos(\omega_0 + 2\Omega) t+J_2(m_f)\cos(\omega_0-2\Omega) t &第二对边频\\ &+J_3(m_f) \cos(\omega_0 + 3\Omega) t-J_3(m_f)\cos(\omega_0-3\Omega) t &第三对边频\\ &+ \cdots \end{align}\]我们忽略振幅小于载波振幅 10%（或 1%） 的边频分量，则带宽为：
\[BW=2(m_f+1)F=2(\Delta f+F)\\ m_f=\frac{\Delta \omega}{\Omega}=\frac{\Delta f}{F}\]- $m_f < 1$ 为窄带调制，$BW\approx 2F$
- $m_f \gg 1$ 为宽带调制，$BW \approx 2\Delta f$
因此，调制指数越大，要考虑的边频分量就越多。