静电场小结

\[\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \end{align*}\]

基础公式

库伦定律:$\vec{F}_{21} = \dfrac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 R^3} \vec{R}$

电场强度与电位:$\vec{E}=-\nabla\phi$

  电场强度 电位
点电荷 \(\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\vec{R}=-\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\nabla\left(\dfrac{1}{R}\right)\) \(\phi=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{R}+C\)
体电荷 \(\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_V \rho(r')\nabla(\dfrac{1}{R}) \dif V'\) \(\phi =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \dfrac{\rho(r')}{R} \dif V'+C\)
面电荷 \(\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_s \rho_s(r')\nabla(\dfrac{1}{R}) \dif S'\) \(\phi =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \dfrac{\rho_s(r')}{R} \dif S'+C\)
线电荷 \(\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_l \rho_l(r')\nabla(\dfrac{1}{R}) \dif l'\) \(\phi =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \dfrac{\rho_l(r')}{R} \dif l'+C\)

静电场基本方程

\[\begin{align} &微分形式 \begin{cases} \nabla \cdot \vec{D}=\rho\\ \nabla\times\vec{E}=0 \end{cases}\\ &积分形式 \begin{cases} \oint_s \vec{D}\cdot\dif \vec{S}=\int_V \rho \dif V=Q\\ \oint_C \vec{E}\cdot\dif \vec{l}=0 \end{cases} \end{align}\]

本构关系:$\vec{D}=\varepsilon \vec{E}$

泊松方程:$\nabla^2 \phi = -\dfrac{\rho}{\varepsilon}$,特殊地,当无电荷密度时,$\nabla^2 \phi=0$

边界条件

  介质分界面 理想导体分界面
电场/电位移 \(\begin{cases}D_{1n}-D{2n}=\rho_s\\E_{1t}-E_{2t}=0\end{cases}\)
介质1靠近正方向
\(\begin{cases}D_{n}=\rho_s\\E_t=0\end{cases}\)
电位 \(\begin{cases}\varepsilon_1 \dfrac{\p \phi_1}{\p n}-\varepsilon_2 \dfrac{\p \phi_2}{\p n}=-\rho_s\\ \phi_1=\phi_2\end{cases}\) \(\begin{cases}\varepsilon\dfrac{\p\phi}{\p n}=-\rho_s\\ \phi=C\end{cases}\)

场/源

由源求场

  1. 定义:$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int_s \dfrac{\rho_s(\vec{r’}) \dif S’}{R^3}\vec{R}$
  2. 高斯定理:$\oint_s \vec{E}\cdot \dif \vec{S}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}$
  3. 电位:$\phi=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_s \dfrac{\rho_s(r’)}{R}\dif S’+C$,电场 $\vec{E}=-\nabla\phi$
  4. 泊松方程+边界条件:$\nabla^2\phi=-\dfrac{\rho}{\varepsilon}$

由场求源

高斯定理的微分形式:

\[\begin{cases} \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}\\ \nabla\cdot\vec{D}=\rho \end{cases}\]

电容

假设电荷

假设电压

静电场能量

对源积分:

  1. 体、面、线电荷

    \[W_e=\frac{1}{2}\int_V \rho \phi \dif V\]

对场积分

静电力