电位与电压

\[\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial} \end{align*}\]

电位

我们知道,静电场是无旋的:$\nabla\times\vec{E}=0$,而无旋场可以用标量函数的梯度来表示,所以我们定义:

\[\vec{E}=-\nabla \phi\]

$\phi$ 称为电场 $\vec{E}$ 的位函数,简称 电位,单位为 V。我们也可以用电位线来描述电位的分布,电位线就是电位的等高线。电位线与电场线总是相互垂直,电场方向即电位下降最快的方向。

上一节中我们知道,电场可以表示为:

\[\vec{E}(\vec{r})=- \nabla \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{V'} \rho(\vec{r}')\frac{1}{R}\dif V' \right]\]

对于点电荷:

\[\vec{E}(\vec{r})=- \nabla \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R} \right)\]

那么是不是 $\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R}$ 呢?不是,因为梯度是求导运算,加上任意常数不改变求导结果,所以:

\[\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R}+C\]

所以电位不是唯一的。为了消除不唯一性,我们一般人为选取电位的 0 参考点,一般选取大地、无穷远或接地导体为电位零点。

此外,由于电场满足叠加性质,所以电位也满足叠加性质,同样也有:

\[体\; \phi =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(r')}{R} \dif V'+C\\ 面\; \phi =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho_s(r')}{R} \dif S'+C\\ 线\; \phi =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho_l(r')}{R} \dif l'+C\]

电压

\[\begin{align} U&=\int_P^Q \vec{E}\cdot\dif \vec{l}=-\int_P^Q \nabla \phi\cdot\dif \vec{l}\\ &=\int_P^Q \frac{\p \phi}{\p \vec{l}} \dif l=-\int_P^Q \dif \phi\\ &=\phi(P)-\phi(Q) \end{align}\]