\[\begin{align*}
\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\
\newcommand{\p}{\partial}\\
\newcommand{\bd}{\boldsymbol}
\end{align*}\]
静态场边值问题
静态场的问题分为两大类：
- 分布型问题：求场求源
- 边值型问题：由源求场
分布类问题很简单，只需要通过基本方程就能求解（比如：$\rho=\nabla\cdot \bd{D}$，$\bd{J}=\nabla\times \bd{H}$），因此我们主要讨论边值型问题。
对于规则分布的场源，可以用直接积分或高斯定理/安培环路定理来求解。而对于分布不均匀的场，需要借助位函数，通过泊松方程来求解：
\[\nabla^2 \phi = -\rho/\varepsilon\\ \nabla^2 \bd{A} = -\mu \bd{J}\]而要确定 $\phi$，除了泊松方程外，还需要一定的边界条件。综上，边值问题可以看作是：在给定边界条件下，求泊松方程的解。
边界条件可以分为三类：
- 给定边界上的位函数 $\phi \big\vert =f_1(S)$
- 给定边界上的位函数的法向导数 $\frac{\p \phi}{\p n} \big\vert=f_2(S)$
- 一部分边界给定位函数，一部分给定位函数的法向导数、
唯一性定理
设 $\phi$ 满足拉普拉斯方程：
\[\nabla^2 \phi = 0\]由格林第一定理：
\[\int_V (\phi\nabla^2 \phi +\nabla\phi\cdot \nabla \phi)\dif V = \oint_S \phi \frac{\p \phi}{\p n} \dif S\]将三类边界条件代入等号右边都为 0，所以：
\[\int_V |\nabla \phi|^2 \dif V=0\]唯一性定理说明：边值问题有唯一定解。
静态场的叠加原理
若满足拉普拉斯方程的一系列解，那么可以选定一组系数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，使得其线性组合 $\phi_\Sigma=a_1\phi+a_2\phi_2+\cdots+a_n\phi_n$ 满足边界条件，从而得到唯一解 $\phi_\Sigma$
若满足泊松方程，则只需要找出一特解即可
边界条件也满足叠加性。比如：
\[\begin{cases} \nabla^2 \phi=0\\ \phi\big| = f_1\\ \phi\big| = 0 \end{cases}= \begin{cases} \nabla^2 \phi=0\\ \phi\big| = f_1\\ \phi\big| = f_2 \end{cases}+ \begin{cases} \nabla^2 \phi=0\\ \phi\big| = 0\\ \phi\big| = f_2 \end{cases}\]#