\[\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \end{align*}\]

电流

在电场中，导体回路中产生定向运动的电荷，称为 电流，用 电流强度（标量，简称电流）表示电流大小，其定义为 单位时间内通过某截面 S 的电荷量。

\[I=\lim_{\Delta t\rightarrow0} \frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{\dif q}{\dif t} \quad (\rm{A})\]

体电流密度矢量

为了研究不同点的电荷运动情况，定义 电流密度矢量 $\bd{j}$：

\[\bd{J}=\lim_{\Delta S\rightarrow} \frac{\Delta I}{\Delta S}\hat{n} = \frac{\dif I}{\dif S} \hat{n} \quad \mathrm{(A/m^2)}\\ I=\int_S \bd{J} \cdot \dif \bd{S}\]

$\bd{n}$ 是正电荷运动的方向（电流方向），$\bd{S}$ 是在该点上垂直于 $\bd{n}$ 的面元。我们可以用 $\bd{J}$ 的矢量线来描绘电流场。

上面是电流密度的定义式，下面我们来求原理式。假设运动电荷的体密度 $\rho_v$ 和运动速度 $\bd{v}$：

\[\dif q=\rho_v \bd{v} \dif t \dif S\\ \bd{J} = \frac{\dif \bd{I}}{\dif S}=\frac{\dif q/\dif t}{\dif S}=\rho_v \bd{v}\]

对于多种带电电荷，有 $\bd{J} = \sum_i \rho_{Vi} \bd{v}_i$。注意，这里指的是运动电荷，与静电荷无关，所以净电荷为 0 时也能有电流。

面电流密度矢量

为了研究电流在厚度可忽略的薄层中流动的情况，我们引入 面电流密度矢量 $\bd{J}$：

\[\bd{J}_S=\lim_{\Delta l \rightarrow 0} \frac{\Delta I}{\Delta l} \hat{n} \quad \mathrm{(A/m)}\\ \bd{I} = \int_l \bd{J}_S \cdot \bd{a}_\perp \dif l\]

$\hat{n}$ 是电流方向，$\Delta l$ 是垂直于 $\hat{n}$ 的线元。也可以用面电荷密度 $\rho_{vs}$ 与速度 $\bd{v}$ 来表示：

\[\bd{J}_S = \rho_{vs} \bd{v}\]

线电流

线电流用密度与速度表示为：$I=\rho_{vl} v$

电流连续性方程

由电荷守恒，单位时间内，闭合曲面 $S$ 内的电荷减少量，等于从 $S$ 流出的电流，我们有：

\[\int_S \bd{J} \cdot \dif \bd{S} = -\frac{\dif}{\dif t} \int_V \rho \dif V\\ \int_V \nabla \cdot \bd{J} \dif V = -\int_V \frac{\dif \rho}{\dif t} \dif V\\ \nabla \cdot \bd{J}=-\frac{\dif \rho}{\dif t}\]

这是根据电荷守恒原理得出的，是电磁场中最基本的原理性方程。

恒定电场的基本方程

因为恒定电场中（电池外）的电场、电荷不随时间变化（电荷动态平衡），所以 $\frac{\dif \rho}{\dif t}=0$，从而：

\[\nabla\cdot \bd{J}=0\\ \oint_S \bd{J}\cdot\dif\bd{S}=0\]

这说明电流是一个无散场，电流线是连续的，没有起点也没有终点。

同时，由于电流恒定，电荷分布不随时间改变，所以动态平衡下的分布电荷产生的库伦电场与静电场具有相同性质，即无旋：

\[\nabla\times \bd{E}=0\\ \oint_c \bd{E}\cdot \dif \bd{l} = 0\]

欧姆定律

实验证明，对大部分导电媒质，有：

\[\bd{J}=\sigma \bd{E}\]

其中，$\sigma$ 称为导电媒质的电导率，由导体材料决定，单位是 S/m。我们称上式为 微分形式的欧姆定律

我们在长为 $l$，横截面为 $S$，的导体中对上式进行积分：

\[\int_l \int_S \bd{J} \cdot \dif \bd{S} \dif l = \sigma \int_S \int_l \bd{E} \cdot \dif \bd{l} \dif S\\ I l = \sigma US\\ U = \frac{l}{\sigma S} I= RI\]

就得到 积分形式的欧姆定律。

• 微分形式适用于任何连续导电媒质、任何传导电流；
• 积分形式指适用于均匀媒质、恒定电流；

如果自由电子在外电场的作用下离开导体产生传导电流¹，导体中的正电荷会产生内电场，抵消外电场，导致传导电流消失，因此需要电源来维持电流。我们考虑电源内部，存在静电力，也存在非静电力（如化学作用），我们将非静电场定义为： $\bd{E}’$，则可以得到 含源的欧姆定律：

\[\bd{J}=\sigma(\bd{E}+\bd{E}')\]

焦耳定律

运动的电子与晶体点阵上的电子碰撞，动能转化为热能，也就是电场力对电荷做得功最终转化为焦耳热。

我们考虑电场力对 $\dif V$ 中的元电荷 $\dif q = \rho_v \dif V$ 做的功：

\[\dif A = \bd{F}\cdot \bd{l}= \bd{E}\cdot \bd{v} \dif q \dif t= \bd{E}\cdot \rho_v \bd{v} \dif V \dif t= \bd{E} \cdot \bd{J} \dif V \dif t\]

从而功率为：

\[p=\frac{\dif P}{\dif V}=\frac{\dif A / \dif t}{\dif V} = \bd{E} \cdot \bd{J} \quad \mathrm{(W/m^3)}\]

上面的功都会转化为焦耳热。上式就是单位体积内的电流消耗功率，也就是 微分形式的焦耳定律。在线性各向同性的导电媒质中，$J=\sigma E$，所以：

\[p = \bd{E} \cdot \bd{J}=\sigma \bd{E}^2\]

对上式积分就能得到 积分形式的焦耳定律：

\[P = \int_V p \dif V = \int_l \bd{E} \cdot \dif \bd{l} \int_S \bd{J} \cdot \dif \bd{S} =UI\]

分界面上的边界条件

当电流通过不同电导率的两种媒质的分界面时，$\bd{J}$ 和 $\bd{E}$ 都会发生变化。

对上图（a）所示的圆柱面，有：

\[\oint_S \bd{J}\cdot\dif \bd{S}=\bd{J}_1\cdot \bd{n}\Delta S - \bd{J}_2 \cdot \bd{n} \Delta S=0\\ \therefore \bd{n}\cdot \bd{J}_1 = \bd{n} \cdot \bd{J}_2 \quad \mathrm{or} \quad J_{1n}=J_{2n}\]

说明分界面上电流密度矢量对界面的法向分量是连续的。

对上图（b）所示的矩形，有：

\[\oint_c \bd{E}\cdot \dif \bd{l} = \bd{E}_1\cdot\bd{a}_l\Delta l-\bd{E}_1\cdot\bd{a}_l \Delta l=0\\ \therefore \bd{n}\times\bd{E}_1=\bd{n}\times\bd{E}_2 \quad\mathrm{or}\quad E_{1t}=E_{2t}\]

根据上面两个分界条件，我们有：

\[\begin{cases} J_{1n}=J_{2n}\\ E_{1t}=E_{2t} \end{cases}\\ 或 \begin{cases} \sigma_1 \frac{\p \phi_1}{\p n}=\sigma_2 \frac{\p \phi_2}{\p n}\\ \phi_1=\phi_2 \end{cases}\]

上两式相除，我们有：

\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\]

电导与接地电阻

两导体间的媒质的电导定义为：$G=\dfrac{I}{U}$，电导只与电极结构（形状、尺寸、位置）和媒质有关，与电荷无关。

电导的计算：

• 用电流计算
  • $假设 I\rightarrow \vec{E}=\frac{\vec{J}}{\sigma}\rightarrow $$U=\int \vec{E}\cdot\dif \vec{l}\rightarrow G=\frac{I}{U}$
  • $假设 U\rightarrow \vec{J}=\sigma \vec{E}\rightarrow $$I=\int \vec{J}\cdot\dif \vec{S}\rightarrow G=\frac{I}{U}$
• 静电比拟法
  • $\dfrac{C}{G}=\dfrac{Q/U}{I/U}=\dfrac{Q}{I}=$$\dfrac{\oint_s \vec{D}\cdot\dif\vec{S}}{\oint_s \vec{J}\cdot\dif\vec{S}}=\dfrac{\varepsilon}{\sigma}$

对于接地的设备，我们将电流经过接地体流入大地时的电阻统称为 接地电阻，包括导线电阻、接地体电阻、接地体与大地的解出电阻、电流在土壤中的电阻。在接地体附近，由于地面存在接地电流，如果人走在上面，会有 跨步电压。

静电场与恒定电场比较

可见，只要求出一个场，就能对应得出另一个场的对应量。