\[\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial}\]

矢量场

矢量场

在空间的每一点上的场量 $\vec{F}$ 既有大小，也有方向。在物理中，用一种假象的场线来描述矢量场，称为矢量线。矢量线的切线方向即场量方向，矢量线的疏密即场量的大小。每一点有且只有一条矢量线经过。

根据以上定义，有：

\[\vec{F} \times \dif l = \begin{vmatrix} \vec{a}_x & \vec{a}_y & \vec{a}_z \\ F_x & F_y & F_z \\ \dif x & \dif y & \dif z \end{vmatrix} = 0\]

从而有： \(\frac{\dif x}{F_x} = \frac{\dif y}{F_y} = \frac{\dif y}{F_y}\)

上式为矢量线在直角坐标系中的微分方程。

矢量的通量（标量）

在矢量场 $\vec{A}$ 中，假设 $\dif \vec{S} = \vec{n} \dif S$ 为一有向曲面的面元矢量，则面元处的矢量 $\vec{A}$ 与面源矢量 $\dif \vec{S}$ 的点积称为 $\vec{A}$ 向 $\vec{n}$ 方向穿过 $\dif S$ 的通量，记作：

\[\dif \Phi = \vec{A} \cdot \dif \vec{S} = A \cos \theta \dif S\]

一个曲面有两面，我们规定，在闭合曲线（开表面）中， $\vec{n}$ 与 曲线正方向 构成右手螺旋关系；在闭合面中，$\vec{n}$ 指向外面。

我们将所有 $\dif \Phi$ 相加，则 $\vec{A}$ 向正侧穿过曲面 S 的 通量 为：

\[\Phi = \int_S \vec{A} \cdot \dif \vec{S} = \int_S \vec{A} \cdot \vec{n} \dif S = \int_S A\cos \theta \dif S\]

我们根据 $\Phi$ 的正负，将 $\Phi$ 分为：

1. $\Phi>0$，正源，$S$ 内有发出通量线的源
2. $\Phi<0$，负源，$S$ 内有吸收通量的汇
3. $\Phi=0$，无源，$S$ 内无源无汇或源汇相消

源和汇统称通量源。

散度

设矢量场 $\vec{A}$，在场中任一点 $M$ 作一个包含点 $M$ 在内的任一闭合曲面 $S$，$S$ 所限定的体积为 $\Delta V$，当体积以任意方式缩向点 $M$ 时，取极限：

\[\lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\oint_S \vec{A} \cdot \dif \vec{S}}{\Delta V}\]

若极限值存在，则此极限称为矢量场在该点的 散度 （divergence） ，记作 $\mathrm{div} \vec{A}$

计算

详细的推导过程可以参考数学分析下第六章的内容。我们直接给出以下结论：

直角坐标系

\[\begin{align} \mathrm{div} \vec{A} &= \frac{\p A_x}{\p x} + \frac{\p A_y}{\p y} + \frac{\p A_z}{\p z}\\ &= \nabla \cdot \vec{A} \end{align}\]

柱坐标系

\[\begin{align} \mathrm{div} \vec{A} &= \nabla \cdot \vec{A}\\ &= \frac{1}{r}\frac{\p}{\p r}(r A_r) + \frac{1}{r}\frac{\p A_\varphi}{\p \varphi} + \frac{\p A_z}{\p z} \end{align}\]

球坐标系

\[\begin{align} \mathrm{div} \vec{A} &= \nabla \cdot \vec{A}\\ &= \frac{1}{r^2}\frac{\p}{\p r}(r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\p}{\p \theta}(\sin\theta A_\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\p A_\varphi}{\p \varphi} \end{align}\]

柱和球的具体推导就不放上来了，个人感觉放了反而会更懵，还不如死记。当然啦，我自己记忆那么差，是不可能死记的，下面放出我的方法：

\[\begin{align} \nabla\cdot \vec{F}&=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left(\frac{\p }{\p u_{1}} (h_{2}h_{3}F_{1})+\frac{\p }{\p u_{2}} (h_{3}h_{1}F_{2})+\frac{\p }{\p u_{3}} (h_{1}h_{2}F_{3})\right)\\ &=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \sum_{j=1}^{3} \frac{\p }{\p u_{i}} \left(F_{j}\frac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{j}}\right) \end{align}\]

其中，$F_1,F_2,F_3$ 就是矢量场的各个分量，$h_1,h_2,h_3$ 是 Lame系数，通俗来讲就是长度元表达式的系数：

1. 对柱坐标系：$h_1=1, h_2=r, h_3=1$
2. 对球坐标系：$h_1=1, h_2=r, h_3=r\sin\theta$

我们可以代入算一下，以柱坐标为例：

\[\nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{r} \cdot\Big( \frac{\p rF_r}{\p r}+\frac{\p F_\varphi}{\p \varphi}+\frac{\p rF_z}{\p z}\Big)\]

注意到最后一项中 $r$ 可以提出去，所以最终可以得到上面的结论。

以球坐标为例：

\[\begin{align} \nabla\cdot\vec{F}&=\frac{1}{r^2\sin\theta} \cdot\Big( \frac{\p r^2\sin\theta F_r}{\p r}+\frac{\p r\sin\theta F_\theta}{\p \varphi}+\frac{\p rF_\varphi}{\p z}\Big)\\ &=\frac{1}{r^2\sin\theta} \cdot\Big( \sin\theta \frac{\p r^2F_r}{\p r}+r\sin\theta \frac{\p F_\theta}{\p \varphi}+r\frac{\p F_\varphi}{\p z}\Big) \end{align}\]

消去前面分母的相应部分，就可以得到原来的式子。这个方法是不是很棒呢！这要感谢知乎大神 宇翔的方法，他给出了这种方法的推导过程，有兴趣的同学可以去看看。

---

散度的运算法则：

1. $\nabla\cdot c\vec{A}=c\nabla\vec{A}$（c是常数）
2. $\nabla\cdot(\vec{A}\pm\vec{B})=\nabla\vec{A}\pm\nabla\vec{B}$
3. $\nabla u\vec{A}=u\nabla\cdot\vec{A}+A\nabla u$

高斯散度定理

假设 $S$ 是矢量场 $\vec{A}$ 空间内的一个闭合面，$V$ 为闭合面所包围的体积，则有：

\[\int_V \nabla\cdot \vec{A} \dif V = \oint_S \vec{A}\cdot\dif \vec{S}\]

证明方法见大一的数学分析。

拉普拉斯算子（补充）

这一部分书上并没有讲，但是在后面会经常用到，所以补充一下。

我们将“梯度的散度”定义为 拉普拉斯算子，记为 $\Delta$ 或 $\nabla^2$，即：

\[\Delta = \nabla^2 = \nabla\cdot\nabla f\]

直角坐标系

\[\begin{align} \nabla^2 f = \frac{\p^2 f}{\p x^2}+\frac{\p^2 f}{\p y^2}+\frac{\p^2 f}{\p z^2} \end{align}\]

柱坐标系

\[\begin{align} \nabla^2 f = \frac{1}{r}\frac{\p}{\p r} \left(r \frac{\p f}{\p r}\right)+\frac{1}{r^2} \frac{\p^2 f}{\p \theta^2} + \frac{\p^2 f}{\p z^2} \end{align}\]

球坐标系

\[\begin{align} \nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\p}{\p r} \left(r^2\frac{\p f}{\p r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\p}{\p \theta} \left(\sin\theta\frac{\p f}{\p \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{\p^2 f}{\p \varphi^2} \end{align}\]

利用 Lame 系数，可以写成：

\[\nabla^2 = \frac{1}{h_1h_2h_3} \sum_{i=1}^3 \frac{\p}{\p u_i} \left( \frac{h_1h_2h_3}{h_i} \frac{\p}{h_i \p u_i} \right)\]

有时候 $\nabla^2$ 也会用于矢量，表示对分量分别求梯度的散度：

\[\nabla^2 \vec{E} = (\nabla^2 E_1) \hat{a}_1+(\nabla^2 E_2) \hat{a}_2+(\nabla^2 E_3) \hat{a}_3\]

拉普拉斯算子具有与梯度与散度类似的性质：

• 分配律：$\nabla^2(u+v)=\nabla^2 u + \nabla^2 v$
• $\nabla^2(uv)=u\nabla^2 v+2\nabla u \cdot \nabla v +v\nabla^2 u$
• $\nabla \times (\nabla\times \vec{F}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{F}) - \nabla^2\vec{F}$