\[\begin{align*}
\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\
\newcommand{\p}{\partial}\\
\newcommand{\bd}{\boldsymbol}
\end{align*}\]
\[\oint_S \bd{B} \cdot \bd{S} =B_1 \cdot \bd{n} \Delta S-B_2 \cdot \bd{n} \Delta S=0\\
\therefore \bd{n}\cdot (B_1-B_2)=0 \;或\; B_{1n}=B_{2n}\]
\[\oint_C \bd{H} \cdot \dif \bd{l} = \bd{H}_1\cdot \Delta \bd{l} - \bd{H}_2 \cdot \Delta \bd{l} =I\\\]
前面已经讨论过,恒定磁场的基本方程为:
\[积分形式:\begin{cases} \oint_S \bd{B} \cdot \bd{S} =0\\ \oint_C \bd{H} \cdot \dif \bd{l} = I \end{cases}\\ 微分形式 :\begin{cases} \nabla \cdot \bd{B} =0\\ \nabla\times \bd{H}= \bd{J} \end{cases}\]磁矢位满足:
\[\bd{B}=\nabla\times \bd{A}\\ \nabla\cdot \bd{A}=0\\ \nabla^2 \bd{A}=-\mu \bd{J}\]对于磁介质,其表面存在磁化电流:$J_{sm}=\bd{M}\times\bd{n}$。如果是两个介质的分界面,表面磁化电流为:$J_{sm}=(\bd{M}_2-\bd{M}_1)\times\bd{n}$。由于 $J_{ms}$ 存在,使得 $B,H$ 发生突变,导致场量不连续。下面就来说明介质分界面上矢量场所满足的关系。
边界条件
法向
切向
- 若有传导电流,则:
- 若没有传导电流,则:
联系上面的 $B_{1n}=B_{2n}$,我们可以得到:在 $J_s=0$ 时:
\[\frac{\tan \theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{B_{1t}/B_{1n}}{B_{2t}/B_{2n}}=\frac{B_{1t}}{B_{2t}}=\frac{\mu_1H_{1t}}{\mu_2H_{2t}}=\frac{\mu_1}{\mu_2}\]从上式我们可以推导出以下几条结论:
- 对于 $\mu_2=\infty$ 的理想导磁体,由于 $B_2=\mu_2 H_2$ 是有限值,所以 $H_2=0$,进而 $H_{1t}=H_{2t}=0$。此时外面的磁场与理想导磁体表面垂直
- 对于铁磁-空气界面,$\mu_2 \gg \mu_1$,故 $\theta_2 \rightarrow \pi/2$,$\theta_1\rightarrow0$(磁屏蔽壳)
磁矢位的边界条件
\[\begin{cases} \nabla\cdot\bd{A}=0 \rightarrow \oint_S \bd{A}\cdot\dif \bd{S}=0\rightarrow A_{1n}=A_{2n}\\ \nabla\times\bd{A}=\bd{B} \rightarrow (\nabla\times A_1)_n=(\nabla\times\bd{A})_n\rightarrow A_{1t}=A_{2t} \end{cases}\\ \therefore \bd{A}_1=\bd{A}_2\]边界条件总结
注:箭头的长短表示大小。长减短等于 0 或 $\rho_s$ 或 $J_s$