\[\begin{align*}
\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\
\newcommand{\p}{\partial}\\
\newcommand{\bd}{\boldsymbol}
\end{align*}\]
电容与电容器
电容器是由介质隔开的一对导体电极组成的两导体系统。我们定义电容为导体间在电压 $U$ 下所带的电荷 $q$，即：
\[C=\frac{q}{U} \; \text{单位：F}\]在介质为线性时，$C$ 是一个与导体形状、位置和介质相关的常数。
对于孤立导体，我们可以将它与无限远处另一导体看作一个电容器。比如真空中的一个孤立球形导体的电容为：
\[C=\frac{q}{\phi}=\frac{q}{q/(4\pi\varepsilon_0a)}=4\pi\varepsilon_0a\]我们求 $C$ 的方法有两种：
- $设 q \rightarrow E \rightarrow U \rightarrow q/U \rightarrow C$
- $\oint \bd{E}\cdot\dif\bd{S}=Q/\varepsilon$
- $U=\int \bd{E}\cdot\dif\bd{l}$
- $设 U \rightarrow E \rightarrow q \rightarrow q/U \rightarrow C$
- $E=-\nabla U$
- $E=\rho/\varepsilon$
复杂情况下还要利用电容的串并联来分开求解。
多导体电容
对于 $n$ 个导体组成的系统，在线性介质中，其各自的电位满足：
\[\begin{cases} \phi_1=p_{11}q_1+p_{12}q_2+\cdots+p_{1n}q_n\\ \phi_2=p_{21}q_1+p_{22}q_2+\cdots+p_{2n}q_n\\ \quad\quad\vdots\\ \phi_n=p_{n1}q_1+p_{n2}q_2+\cdots+p_{nn}q_n \end{cases}\\ 矩阵形式\Rightarrow[\bd{\phi}]=[\bd{p}][\bd{q}]\]式中，$\bd[p]$ 称为 电位系数矩阵，$p_{ij}$ 表示导体 $i$（场）受导体 $j$（源）电荷的影响，$p_{ii}$ 称为 自电位系数，$p_{ij}\;(i\neq j)$ 表示 互电位系数。$p_{ij}$ 的含义是：当只有 $q_j$ 带电荷时，导体 $i$ 的电位 $\phi_i$ 与电荷 $q_j$ 之比，即：
\[p_{ij}=\left. \frac{\phi_i}{q_j} \right|_{q_1=\cdots=q_{j-1}=q_{j+1}=\cdots=0}\]电位系数具有 互易性，即 $p_{ij}=p_{ji}$，所以 $[\bd{p}]=[\bd{p}]^T$
类似地，我们可以反过来定义 电容系数矩阵：
\[\begin{cases} q_1=\beta_{11}\phi_1+\beta_{12}\phi_2+\cdots+\beta_{1n}\phi_n\\ q_2=\beta_{21}\phi_1+\beta_{22}\phi_2+\cdots+\beta_{2n}\phi_n\\ \quad\quad\vdots\\ q_n=\beta_{n1}\phi_1+\beta_{n2}\phi_2+\cdots+\beta_{nn}\phi_n \end{cases}\\ 矩阵形式\Rightarrow[\bd{q}]=[\bd{\beta}][\bd{\phi}]\\ [\bd{\beta}]=[\bd{p}]^{-1}\]$\beta_{ij}$ 称为 互感应系数，$\beta_{ii}$ 称为 自感应系数 并且 $\beta{ii}>0$；$\beta_{ij}\;(i\neq j)$ 称为 互感应系数 并且 $\beta{ij}<0$。互感应系数同样具有 互易性，$\beta_{ij}=\beta{ji}$。
将 $q$ 改写为互电压的形式，即：
\[\begin{align} q_1&=(\beta_{11}+\beta_{12}+\cdots+\beta_{1n})\phi_1\\ &\quad-\beta_{12}(\phi_1-\phi_2)-\beta_{13}(\phi_1-\phi_3)-\cdots-\beta_{1n}(\phi_1-\phi_n)\\ &=C_{11}U_{10}+C_{12}U_{12}+C_{13}U_{13}+\cdots+C_{1n}U_{1n} \end{align}\]从而有：
\[\begin{cases} q_1=C_{11}U_{10}+C_{12}U_{12}+C_{13}U_{13}+\cdots+C_{1n}U_{1n}\\ q_2=C_{21}U_{20}+C_{22}U_{22}+C_{23}U_{23}+\cdots+C_{2n}U_{1n}\\ \quad\quad\vdots\\ q_n=C_{n1}U_{n0}+C_{n2}U_{n2}+C_{n3}U_{n3}+\cdots+C_{nn}U_{1n} \end{cases}\]其中，
\[C_{ii}=\sum_{j=1}^n {\beta_{ij}} \;,\; C_{ij}=-\beta_{ij} \;(i\neq j)\\ U_{i0}=\phi_i \;,\; U_{ij}=\phi_i-\phi_j\;(i\neq j)\]$U_{i0}$ 指的是导体 $i$ 与参考导体 $0$（通常是地或无穷远）的电势。
求计算多导体电容的方法：
- $设不同情况的q\rightarrow 求\phi \rightarrow 求p_{ij} \rightarrow [\bd{\beta}]=[\bd{p}]^{-1} \rightarrow C_{ij}$ （用电位系数矩阵）
- $设不同情况的q\rightarrow 求U\rightarrow 联立方程求 C$（用最后一个方程组）