\(\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \end{align*}\)

傅里叶变换的性质

\[X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t}\dif t\\ x(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega) e^{j\omega t} \dif \omega\]

我们用 $\F [x(t)]$ 表示求 $x(t)$ 的傅里叶变换，$x(t) \xleftrightarrow{\F} X(j\omega)$ 表示傅里叶变换对。

线性性

\[ah(t)+bg(t) \xleftrightarrow{\F} aH(j\omega)+bG(j\omega)\]

证明：

\[\begin{align} \F [ah(t)+bg(t)]&=\int_{-\infty}^{+\infty}[ah(t)+bg(t)] e^{-2\omega t}\dif t\\ &=a\int_{-\infty}^{+\infty} h(t) e^{-j\omega t}\dif t+b\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-j\omega t}\dif t\\ &=a\F[h(t)]+b\F[g(t)]\\ &=aH(j\omega)+bG(j\omega) \end{align}\]

时移

\[x(t-t_0) \xleftrightarrow{\F} e^{-j\omega t_0} X(j\omega)\]

证明：

\[\begin{align} \F[x(t-t_0)]&=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t-t_0) e^{-j\omega t}\dif t\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} x((t+t_0)-t_0) e^{-j\omega (t+t_0)}\dif (t+t_0)\\ &=e^{-j\omega t_0}\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t}\dif t\\ &=e^{-j\omega t_0} X(j\omega) \end{align}\]

共轭对称

\[x(t)\xleftrightarrow{\F}X(j\omega)\\ x^*(t)\xleftrightarrow{\F}X^*(-j\omega)\]

证明：

\[\begin{align} \F[x^*(t)]&=\int_{-\infty}^{+\infty} x^*(t) e^{-j\omega t}\dif t\\ &=\left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{j\omega t}\dif t \right]^*\\ &=X^*(-j\omega) \end{align}\]

• 若 $x(t)$ 为实函数，$x(t)=x^(t)$，则 $X(j\omega)=X^(-j\omega)$
• 若 $x(t)$ 为实偶函数，$X(j\omega)=X(-j\omega)=X^*(-j\omega)$，则 $X(j\omega)$ 为实偶函数；
• 若 $x(t)$ 为实奇函数，$X(j\omega)=-X(-j\omega)=X^*(-j\omega)$，则 $X(j\omega)$ 为虚奇函数。

任何信号可以分解为一个偶信号与奇信号的和：

\[x(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}+\frac{x(t)-x(-t)}{2}\]

微分

\[\frac{\dif x(t)}{\dif t}\xleftrightarrow{\F} j\omega X(j\omega)\\ \frac{\dif^n x(t)}{\dif t^n}\xleftrightarrow{\F} (j\omega)^n X(j\omega)\]

证明：（分部积分法）

\[\begin{align} \F[x'(t)]&=\int_{-\infty}^{+\infty} x'(t) e^{-j\omega t}\dif t\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega t}\dif x(t)\\ &=\left. x(t)e^{-j\omega t} \right|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \dif e^{-j\omega t}\\ &=0+j\omega \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t}\dif t\\ &=j\omega X(j\omega) \end{align}\\\]

注：$\lim_{t\rightarrow\pm\infty} x(t)=0$

积分

\[\int_{-\infty}^t x(\tau)\dif \tau \xleftrightarrow{\F} \frac{1}{j\omega} X(j\omega) +\pi X(0)\delta(\omega)\]

证明：

\[\begin{align} \F\left[ \int_{-\infty}^t x(\tau)\dif \tau \right]&=\int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^t x(\tau)\dif \tau \right] e^{-j\omega t}\dif t\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)u(t-\tau) \dif \tau \right] e^{-j\omega t}\dif t\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} u(t-\tau) e^{-j\omega t}\dif t\right] \dif \tau \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \left[ \pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega} \right]e^{-j\omega \tau} \dif \tau\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\pi\delta(\omega)e^{-j\omega \tau} \dif \tau + \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \frac{1}{j\omega} e^{-j\omega \tau} \dif \tau\\ &=\pi\delta(\omega)\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \dif \tau + \frac{1}{j\omega} \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) e^{-j\omega \tau} \dif \tau\\ &=\pi\delta(\omega)X(0)+\frac{1}{j\omega} X(j\omega) \end{align}\]

注：$u(t)\xleftrightarrow{\F}\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$

尺度变换

\[x(at)\xleftrightarrow{\F} \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})\]

证明：

\[\begin{align} \F[ x(at)]&=\int_{-\infty}^{+\infty} x(at)e^{-j\omega t} \dif t\\ \xrightarrow{\tau=at} &=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)e^{-j\frac{\omega}{a} \tau} \dif \tau\\ &=\frac{1}{|a|} X(\frac{j\omega}{a}) \end{align}\]

对偶性

\[X(jt) \xleftrightarrow{\F} 2\pi x(-\omega)\\ 或\\ \F[\F x(t)]=2\pi x(-\omega)\]

证明：

\[\begin{align} x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \dif \omega\\ \xrightarrow{t\leftrightarrow\omega} x(\omega)&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(jt) e^{j\omega t} \dif t\\ \xrightarrow{\omega\rightarrow-\omega} 2\pi x(-\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} X(jt) e^{-j\omega t} \dif t \end{align}\]

根据对偶性，我们可以由时域变换对频域的影响，求出频域变换对时域的影响。比如：

\[x(t-t_0) \xleftrightarrow{\F} e^{-j\omega t_0} X(j\omega)\\ e^{j\omega_0 t} x(t) \xleftrightarrow{\F} X(j(\omega-\omega_0))\]

Paswal定理

\[\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \dif t=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |X(j\omega)|^2\dif \omega\]

证明：

\[\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \dif t&=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)x^*(t) \dif t\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(-j\omega) e^{j\omega t} \dif \omega \right] \dif t\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(j\omega) e^{-j\omega t} \dif \omega \right] \dif t\\ &=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(j\omega) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} \dif t \right] \dif \omega\\ &=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(j\omega) X(j\omega) \dif \omega\\ &=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |X(j\omega)|^2 \dif \omega \end{align}\]

卷积性质

\[h(t)*x(t) \xleftrightarrow{\F} H(j\omega) \cdot X(j\omega)\]

证明：

\[\begin{align} \F \left[ h(t)*x(t) \right] &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)x(t-\tau)\dif \tau \right] e^{-j\omega t} \dif t\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)x(t-\tau)\dif \tau \right] e^{-j\omega (t-\tau+\tau)} \dif t\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(t-\tau)e^{-j\omega (t-\tau)} \dif (t-\tau) \right] e^{-j\omega \tau}\dif \tau\\ &=X(j\omega) \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) e^{-j\omega \tau}\dif \tau\\ &=X(j\omega)H(j\omega) \end{align}\]

相乘性质

\[x_1(t)\cdot x_2(t) \xleftrightarrow{\F} \frac{1}{2\pi} X_1(j\omega) * X_2(j\omega)\]

证明：

\[\begin{align} \F \left[x_1(t)\cdot x_2(t)\right] &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ x_1(t)\cdot x_2(t) \right] e^{-j\omega t} \dif t\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} x_1(t) \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X_2(j\Omega) e^{j\Omega t} \dif \Omega \right] e^{-j\omega t} \dif t\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X_2(j\Omega) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x_1(t) e^{-j(\omega-\Omega) t} \dif t \right] \dif \Omega\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X_2(j\Omega) X_1(j\omega-j\Omega) \dif \Omega\\ &= \frac{1}{2\pi} X_1(j\omega) * X_2(j\omega) \end{align}\]

总结