离散时间傅里叶变换的性质

$\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\ft}{\xleftrightarrow{\F}}$

DTFT 的性质

\[综合公式：x[n]=\frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} \dif \omega\\ 分析公式：X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] e^{-j\omega n}\]

我们用 $x[n]\xleftrightarrow{\F}X(e^{j\omega})$ 来表示一对 DTFT 对，用 $\F(x[n])$ 表示求 $x[n]$ 的傅里叶变换。

线性性

\[ax_1[n]+bx_2[n]\ft aX_1(e^{j\omega})+b X_2(e^{j\omega})\]

证明：

\[\begin{align} \F(ax_1[n]+bx_2[n]) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (ax_1[n]+bx_2[n]) e^{-j\omega n}\\ &= a\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_1[n] e^{-j\omega n}+ b\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_2[n] e^{-j\omega n}\\ &= aX_1(e^{j\omega})+b X_2(e^{j\omega}) \end{align}\]

时移与频移

\[x[n-n_0]\ft e^{-j\omega n_0} X(e^{j\omega})\\ e^{j\omega_0 n} x[n] \ft X(e^{j(\omega-\omega_0)})\]

证明：

\[\begin{align} \F(e^{j\omega_0(n-n_0)} x[n-n_0]) &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{j\omega_0(n-n_0)} x[n-n_0] \cdot e^{-j\omega n}\\ &=e^{-j\omega n_0} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{j\omega_0(n-n_0)} x[n-n_0] \cdot e^{-j\omega (n-n_0)} \\ &=e^{-j\omega n_0} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n-n_0] \cdot e^{-j(\omega-\omega_0) (n-n_0)} \\ &= e^{-j\omega n_0} X(e^{j(\omega-\omega_0)}) \end{align}\\ 当 \omega_0=0 时，对应于时移\\ 当 n_0=0 时，对应于相移\]

共轭与共轭对称性

\[x^*[n] \ft X^*(e^{-j\omega})\]

证明：

\[\begin{align} \F(x^*[n]) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*[n] e^{-j\omega n}\\ &= \left\{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] e^{-j(-\omega) n}\right\}^*\\ &= X^*(e^{-j\omega}) \end{align}\]

若 $x[n]$ 为实函数，$x[n]=x^*[n]$，则 $X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$，也就是说，$X(e^{j\omega})$ 的实部是偶函数，虚部是奇函数。
若 $x[n]$ 为实偶函数，$X(e^{j\omega})=X(e^{-j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$，则 $X(e^{j\omega})$ 为实偶函数；
若 $x[n]$ 为实奇函数，$X(e^{j\omega})=-X(e^{-j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$，则 $X(e^{j\omega})$ 为虚奇函数。

综上，如果 $x[n]$ 是实函数，有如下关系成立：

\[\mathcal{Ev}\{x[n]\} \ft \mathcal{Re} \{ X(e^{j\omega})\}\\ \mathcal{Od}\{x[n]\} \ft j\mathcal{Im} \{ X(e^{j\omega})\}\]

$\mathcal{Ev}$ 和 $\mathcal{Od}$ 表示 $x[n]$ 的偶部与奇部。

差分和累加

差分：

\[x[n]-x[n-1] \ft (1-e^{-j\omega}) X(e^{j\omega})\]

证明：由前面的线性性和时移性质可证。

累加：

\[\sum_{m=-\infty}^n x[m] \ft \frac{1}{1-e^{-j\omega}} X(e^{j\omega}) + \pi X(e^{j0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2\pi k)\]

证明：

\[\begin{align} \F \left\{ \sum_{m=-\infty}^n x[m] \right\} &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left\{ \sum_{m=-\infty}^n x[m] \right\} e^{-j\omega n}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left\{ \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x[m]u[n-m] \right\} e^{-j\omega n}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} x[m] \left\{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} u[n-m] e^{-j\omega n} \right\} \\ &=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} x[m] \left\{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} u[n-m] e^{-j\omega (n-m)} \right\} e^{-j\omega m}\\ &= \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x[m] \left\{ \frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \pi \delta(\omega - 2\pi k) \right\}e^{-j\omega m}\\ &= \frac{1}{1-e^{-j\omega}} X(e^{j\omega}) + \pi X(e^{j2\pi k}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2\pi k)\\ &= \frac{1}{1-e^{-j\omega}} X(e^{j\omega}) + \pi X(e^{j0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2\pi k) \end{align}\]

对偶性

DFS 的对偶性

已知离散傅里叶级数为：

\[x[n]=\sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{jk\omega_0n}=\sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{jk(2\pi/N)n}\\ a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n]e^{-jk\omega_0n}=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n] e^{-jk(2\pi/N)n}\]

$a_k$ 是以 $N$ 为周期的序列，我们将其看作是一个离散时间信号 $a_n$，则我们再对 $a_n$ 展开成 DFS：

\[a_n[n] =\sum_{n=\langle N \rangle} \frac{1}{N}x[-n] e^{jk(2\pi/N)n}\]

因此，我们有傅里叶级数的对偶性：

\[x[n]\xleftrightarrow{DFS} a_k\\ a_n[n]\xleftrightarrow{DFS} \frac{1}{N}x[-n]\]

利用这个我们可以将时域上的性质变为频域上的性质。以时域卷积为例：

\[\because x_1[n]*x_2[n]\xleftrightarrow{DFS}a_k\cdot b_k \cdot N\\ \therefore a_n * b_n \xleftrightarrow{DFS} \frac{1}{N} x_1(-k) \cdot \frac{1}{N} x_2(-k)\cdot N\\ \quad\quad\quad =\frac{1}{N} x_1(-k)\cdot x_2(-k)\\ \frac{1}{N} x_1(-k)\cdot x_2(-k) \xleftrightarrow{DFS} \frac{1}{N} a_{-n}*b_{-n}\\ x_1(n)\cdot x_2(n) \xleftrightarrow{DFS} a_k* b_k\]