\(\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \end{align*}\)
离散时间周期信号的傅里叶级数
离散时间周期信号的傅里叶级数:
\[x[n]=\sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{j(2\pi/N)kn}\]$k=\langle N \rangle$ 表示 $k$ 取 $1,2,\cdots N$。这是离散与连续的一大不同。因为 $k=N+1$ 对应的周期函数与 $k=1$ 是同一个。
对两边同时乘以 $e^{-jr(2\pi/N)n}$,然后求和:
\[\begin{align} \quad\sum_{n=\langle N \rangle} x[n] e^{-jr(2\pi/N)n} &=\sum_{n=\langle N \rangle} \sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{j(2\pi/N)(k-r)n}\\ &=\sum_{k=\langle N \rangle} a_k \sum_{n=\langle N \rangle} e^{j(2\pi/N)(k-r)n}\\ &=a_r \sum_{n=\langle N \rangle} e^{j(2\pi/N)(r-r)n}\\ &=N a_r \end{align}\\\]所以我们有 离散时间傅里叶级数 为:
\[x[n]=\sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{jk\omega_0n}=\sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{jk(2\pi/N)n}\\ a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n]e^{-jk\omega_0n}=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n] e^{-jk(2\pi/N)n}\]以上两条式分别为 综合公式(上) 和 分析公式(下),$a_k$ 称为 频谱系数(spectral coefficient)。
一般来说,离散时间傅里叶级数不存在任何收敛问题,因为只有有限个频谱系数。
离散傅里叶级数性质
若 $x[n]$ 是一个周期信号,周期为 $N$,其傅里叶级数系数记为 $a_k$,则记作:
\[x[n] \xleftrightarrow{Fs} a_k\]线性性质
\[Ax[n]+By[n] \xleftrightarrow{Fs} Aa_k+Bb_k\]证明:
\[\begin{align} &\quad\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} (Ax[n]+By[n]) e^{-jk\omega_0n}\\ &=\frac{A}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n] e^{-jk\omega_0n}+\frac{B}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} y[n] e^{-jk\omega_0n}\\ &=Aa_k+Bb_k \end{align}\]时移性质
\[x[n-n_0]\xleftrightarrow{Fs} a_ke^{-jk(2\pi/N)n_0}\]证明:
\[\begin{align} &\quad\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n-n_0] e^{-jk\omega_0n}\\ &=\frac{1}{N}\sum_{m=\langle N \rangle} x[m] e^{-jk\omega_0(m+n_0)}\\ &=a_ke^{-jk(2\pi/N)n_0} \end{align}\]相乘
$x[n],y[n]$ 是周期为 $N$ 的离散函数:
\[x[n]y[n]\xleftrightarrow{Fs} \sum_{l=\langle N \rangle} a_lb_{k-l}\]证明:
\[\begin{align} &\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n]y[n] \cdot e^{-jk\omega_0n}\\ =&\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} \left( \sum_{l=\langle N \rangle} a_l e^{jl\omega_0n} \right)y[n] \cdot e^{-jk\omega_0n}\\ =&\sum_{l=\langle N \rangle} a_l \left( \frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} y[n] \cdot e^{-j(k-l)\omega_0n} \right)\\ =&\sum_{l=\langle N \rangle} a_lb_{k-l} \end{align}\]差分
\[x[n]-x[n-1]\xleftrightarrow{Fs} (1-e^{-jk(2\pi/N)})a_k\]证明:
\[\because \begin{cases} x[n]\xleftrightarrow{Fs} a_k\\ x[n-1]\xleftrightarrow{Fs} e^{-jk(2\pi/N)}a_k\\ \end{cases}\\ \therefore x[n]-x[n-1]=a_k-e^{-jk(2\pi/N)}a_k\\ =(1-e^{-jk(2\pi/N)})a_k\]