\(\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\ft}{\xleftrightarrow{\F}}\)

LCCDR

第二章已经学过，已知单位脉冲的响应 $h[n]$，可以通过卷积：$h[n]*x[n]$ 得到 $y[n]$，即：

\[h[n]*x[n]=y[n]\]

对左右两边进行傅里叶变换：

\[H(e^{j\omega})\cdot X(e^{j\omega})=Y(e^{j\omega})\\ \therefore H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}\]

这里的 $H(e^{j\omega})$ 和之前所说的特征函数是一回事。综上，知道了 $H(e^{j\omega})$，我们就可以很直观地写出系统的频率响应。所以下一步，我们需要求解 $H(e^{j\omega})$。

一般我们可以通过系统框图的到系统的线性常系数差分方程（LCCDR），LCCDR 的形式如下：

\[\sum_k a_k y[n-k] = \sum_k b_k x[n-k]\]

对两边求傅里叶变换，并且利用线性与时移性质，我们有：

\[\sum_k a_k e^{-jk\omega} Y(e^{j\omega})=\sum_k b_k e^{-jk\omega} X(e^{j\omega})\]

最终得到：

\[H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}=\frac{\sum_k a_k e^{-jk\omega}}{\sum_k b_k e^{-jk\omega}}\]

其实我觉得由框图写差分方程是最难的。