z变换分析

利用 z变换求差分方程

根据单边z变换的移位性质 $\Z[x(n-m)u(n)]=z^{-m} [X(z)+\sum_{k=-m}^{-1} x(k)z^{-k}]$,得到 z变换方程,进而求得 $Y(z)$,然后再由反变换得到 $y(n)$

已知系统的差分方程表达式位 $y(n)-0.9y(n-1)=x(n)$,$x(n)=0.05u(n)$,若起始状态为 $y(-1)=1$,求 $y(n)$。

解:对方程作单边 z变换:
$$ Y(z)-0.9[z^{-1}Y(z)+y(-1)]=X(z)\\ Y(z)=\frac{X(z)+0.9y(-1)}{1-0.9z^{-1}} $$
代入已知条件:
$$ \begin{align} Y(z)&=\frac{0.05z^2}{(z-1)(z-0.9)}+\frac{0.9y(-1)z}{z-0.9}\\ &=\frac{0.5z}{z-1}+\frac{0.45z}{z-0.9} \end{align} $$
再做反变换,得到 $y(n)=0.5+0.45\times(0.9)^n$,$n\geq 0$

观察上面例题中的 $Y(z)$,可以认为 $Y(z)$ 由 $\frac{0.05z^2}{(z-1)(z-0.9)}$ 和 $\frac{0.9y(-1)z}{z-0.9}$ 两部分组成。第一项称为 零状态响应,第二项称为 零输入响应

而经过分式展开,$Y(z)$ 又可以分为 $\frac{0.5z}{z-1}$ 和 $\frac{0.45z}{z-0.9}$ 两部分。第一项极点在单位圆上,称为 稳态响应(在圆外也属于稳态响应),第二项极点在单位圆内部,称为 暂态响应(衰减)。

进一步考虑稳态响应与暂态响应,可以发现稳态响应的极点来源于信号,我们将来源于信号的极点称为 强迫响应,来源于系统极点称为 自由响应。(如果既来自于系统,也来自于信号,则优先考虑系统,算作自由响应)

总结一下:

  • 按有无输入分:零状态、零输入
  • 按极点位置分:稳态、暂态
  • 按极点来源分:强迫、自由

补充资料:知乎:全响应、稳态响应、暂态响应、零状态响应、零输入响应、受迫响应、自然响应 之间存在哪些隐含的关系?

求系统函数

离散系统的差分方程为:

两端取双边 z 变换,根据双边移位性质:

从而得到系统函数为:

  • 并联:$H(z)=H_1(z)+H_2(z)$
  • 级联:$H(z)=H_1(z)\cdot H_2(z)$

写成零、极点的形式:

展开成部分分式形式:

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clc;clear;close all;
k=1;
for i = [-1.5:0.1:-1 -0.8:0.2:1 1.1:0.1:1.5]
    set(gcf,'Position',[0,0,800,300], 'color','w');
    Z=[];%零点

    P=[i]; %极点

    K=1; % 系数K

    [b,a]=zp2tf(Z,P,K); %获得分式表达式

    % sys=tf(b,a); %构造z域表达式

    subplot(121);
    zplane(b,a); %画z平面的零极点图

    axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);
    legend('零点','极点');
    title('零极点分布图');
    subplot(122);
    impz(b,a,20); %画 h(t)

    grid on;

    %制作gif

    if i == -1.5
        %首帧,设置样式和大小

        frame = getframe(gcf); % 获取整个窗口内容的图像

        im=frame2im(frame);
        [I{k},map{k}]=rgb2ind(im,8);
        imwrite(I{k},map{k},'1.gif','gif','Loopcount',Inf,'DelayTime',0.8);
    else
        frame = getframe(gcf);% 获取整个窗口内容的图像

        im=frame2im(frame);
        [I{k},map{k}]=rgb2ind(im,8);
        %追加模式

        imwrite(I{k},map{k},'1.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.4);
    end
    k=k+1;
end

for i = (k-1):-1:1
    imwrite(I{i},map{i},'1.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.4);
end

一阶系统

一阶系统

  • 极点在圆内,收敛
  • 极点在圆上,等幅
  • 极点在圆外,增长

二阶系统

二阶系统ω的影响

二阶系统β的影响

  • $\omega$ 决定频率,$\beta$ 决定幅度
  • 圆上,等幅
  • 圆内,收敛
  • 圆外,发散

s 与 z 的映射关系

  • 前面引入 z变换时定义了 $z=e^{sT}$($T$ 是采样周期)
  • 令 $s=\sigma+j\Omega$,$z=re^{j\omega}$
  • 则 $r=e^{\sigma T}$,$\omega=\Omega T=\Omega\dfrac{2\pi}{\Omega_s}$
  • 映射关系:
    • $s$ 平面上的每条竖线对应于 $z$ 平面上的一个圆
    • $s$ 平面上的每条横线对应于 $z$ 平面上的一条从原点出发的射线
    • $s$ 左半平面对应 $z$ 平面单位圆内,右半平面对应单位圆外,虚轴对应单位圆

因果性

因果信号意味着:$h(n)=h(n)u(n)$,对应于 $z$ 域则是收敛域在某个圆外并包含无穷远。

稳定性

在时域上要求:$\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) <\infty$;在 z域则要求收敛域包含单位圆,即全部极点落在单位圆内。

DFTF 与 z变换