z变换

z变换的引入

我们考虑抽样信号的拉氏变换:

由于 $\L[\delta(t)]=1$,由时移性质,得到 $\L[\delta(t-nT)]=e^{-snT}$,故:

令 $z=e^{sT}$,$x[n]=x_s(nT)$,则:

这个就是 $z$ 变换,更准确来讲是 双边 $z$ 变换,其中,$-\infty<n\leq1$ 部分是左边序列,$0\leq n<+\infty$ 是右边序列。相应的,也有单边变换:

收敛域

令 $X(z)$ 收敛的 $z$ 的集合称为 收敛域 ROC,计算 z变换时必须写出收敛域。根据级数收敛的相关定理,我们知道要让

常见 z 变换

单位函数

收敛域为整个 z 平面。

有限长序列

为了使讨论具有普遍性,取 $n=[-2,2]$,则:

所以收敛域为 $0<\vert z \vert<\infty$

单位阶跃序列

当 $\vert z^{-1} \vert<1$ 时收敛于 $\frac{z}{z-1}$,故ROC为 $\vert z \vert >1$

斜变序列

根据单位阶跃的 z变换:

两边求导:

两边同乘 $z^{-1}$:

收敛域依然是 $\vert z \vert >1$

右边指数序列

当 $\vert \frac{a}{z} \vert <1$ 时,即 $\vert z \vert > \vert a \vert $ 时收敛于 $X(z)=\dfrac{1}{1-az^{-1}}=\dfrac{z}{z-a}$,故收敛域 ROC 为 $\vert z \vert > \vert a \vert $(圆外)

左边指数序列

当 $\vert a^{-1} z^m\vert<1$,即 $\vert z \vert < \vert a \vert$ 时收敛于 $X(z)=-\dfrac{za^{-1}}{1-za^{-1}}=\dfrac{z}{z-a}$,故收敛域为 $\vert z \vert < \vert a \vert$ (圆内),恰好与右边指数序列相反。

注意,左边指数与右边指数仅仅是 ROC 不同,而式子都相同。故已知 z变换时,我们需要 ROC 来确定是左边还是右边序列。

性质

下面用花体 $\Z$ 表示 Z 变换。为了方便区分括号,我们这里用 $x(n)$ 代替 $x[n]$

线性性

(证明略。)

例题:计算 $\Z[\sin(\omega_0 n)u(n)]$ 和 $\Z[\cos(\omega_0 n)u(n)]$

时移性

双边(参与变换的点数不变)

证明

由于单位时延对应的要乘上 $z^{-1}$,所以 $z^{-1}$ 在方框图中表示时延。

单边 (参与运算的点数增加或减少)

序列线性加权(z域微分)

序列指数加权(z域尺度变换)

证明

初值定理

若 $x(n)$ 为因果序列,则 $x(0)=\lim_{z\rightarrow \infty} X(z)$

证明

终值定理

若 $x(n)$ 为因果序列,并且 $x(\infty)$ 收敛(不包括振荡),则 $x(\infty)=\lim_{z\rightarrow 1} (z-1)X(z)$。

终值存在的条件:

  • 极点位于单位圆内,$X(1)$ 处无极点,$x(\infty)=\lim_{z\rightarrow 1} (z-1)X(z)=0$
  • 极点位于单位圆 $z=1$ 处,并且是一阶极点,$x(\infty)$ 对应于 $X(z)$ 展开式中,$\frac{z}{z-1}$ 项的系数。

证明

时域卷积定理

证明 (还是老套路,交换求和顺序)

z域卷积定理(了解)

数字信号处理中会进一步学习。

总结

z变换性质

单边z变换性质

z变换对

逆z变换

部分分式展开法

因果序列是右边序列,其收敛域是圆外,包括 $+\infty$,所以要求分母阶次大于分子,即 $k\geq r$。

常见信号的z变换:

信号 z变换 ROC
$\delta(n)$ 1 整个平面
$u(n)$ $\dfrac{z}{z-1}$ $\vert z \vert>1$
$nu(n)$ $\dfrac{z}{(z-1)^2}$ $\vert z \vert>1$
$a^n u(n)$ $\dfrac{z}{z-a}$ $\vert z \vert>\vert a \vert$
$-a^n u(-n-1)$ $\dfrac{z}{z-a}$ $\vert z \vert<\vert a \vert$

注意到上面的z变换的分子都是 $z$,所以在求展开式时,可以先除以 $z$,然后像前面拉氏那样展开,然后再乘回 $z$:

幂级数展开法

可以利用长除法进行反变换(一般无法整除,只需写出前几项):

这样就得到了 $x(n)$ 序列。

围线积分

选择一条逆时针方向的围线 $c$,使得 $X(z)z^{m-1}$ 的极点在 $c$ 的内部。对 $c$ 进行围线积分:

交换积分与求和的顺序:

令积分路径上的 $z=Re^{j\theta}$,$R$ 为常数:

因为:

所以:

经过推导可知 z反变换公式:

即:$x(n)=\dfrac{1}{2\pi j} \oint_c X(z) z^{n-1} \dif z$,根据留数定理: