采样

采样定理

如果一个信号是带限的1,并且它的样本取得足够密,则这些样本就能唯一地表征这一信号,并且能从样本中把信号恢复出来。

冲激串采样

设冲激串序列(pulse):

则冲激串采样为:

其中,$T$ 称为采样周期,$\omega_s=2\pi/T$ 称为采样频率(下标S 表示 Sampling)。

对 $x_p(t)$ 进行傅里叶变换(时域相乘对应频域卷积):

因为信号与冲激函数的卷积就是信号的移位,所以:

这说明冲激采样得到的信号频谱是原信号频谱的周期性延拓。如果原信号的带宽为 $(-\omega_M, \omega_M)$2,那么要令周期延拓后信号不重叠,则必须要满足:$\omega_s>2\omega_M$(参考下图)

采样定理

设 $x(t)$ 是某一个带限信号,在 $\vert\omega\vert>\omega_M$ 时 $X(j\omega)=0$。如果 $\omega_s>2\omega_M$,其中,$\omega_s=2\pi/T$,那么 $x(t)$ 就唯一地由样本 $x(nT),n=0,\pm1,\pm2,\cdots$ 所确定。

零阶保持采样

在实际中很难实现冲激信号,一般是对某一时刻的 $x(t)$ 采样并保持这一样本值,直到下一个样本被采样为止。这就称为 零阶保持(zero-order hold),相当于在冲激采样的基础上加上保持器(如下图)

如果设保持器 $h_0(t)$ 的傅里叶变换为 $H_0(j\omega)$,则零阶保持采样频域上相当于:在冲激采样的基础上乘以 $H_0(j\omega)$,即:

上一节已经讲了,$X_p(j\omega)$ 可以通过低通滤波得到原频谱,即:$X(j\omega)=X_p(j\omega)H(j\omega)$,那么,我们只需找到 $H_r(j\omega)$,使得:

容易算出:

当然,由于理想低通滤波是不可能实现的,所以上图也是不可能实现的。

内插重建

上面的重建都是从频域上分析的,在时域上,重建过程就相当于在采样点之间插值,称为 内插

对于冲激采样,其重建过程为:

可以看出,冲激采样的重建就是利用 $h(t)=\frac{\omega_c T\sin(\omega_ct)}{\pi\omega_c t}$ 作为内插函数来补充值(如下图)。这种利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插称为 带限内插

也可以利用不同的函数作为内插函数。比如把零阶保持看作内插的一种,就能得到零阶内插。(下图是零阶保持与理想内插的区别)

批注 2020-05-12 112320

欠采样与混叠现象

如果 $\omega_s<2\omega_M$,周期延拓的频谱就会产生重叠,就会使得重建得到的信号失真。比如考虑:

分别取 $\omega_s=6\omega_0$ 和 $\omega_s=6\omega_0/4$,则采样后的频谱图分别为:

  $\omega_s=6\omega_0$ $\omega_s=6\omega_0/4$
采样信号的频谱
恢复的信号 $x_r(t)=\cos\omega_0 t$ $x_r(t)=\cos(\omega_s-\omega_0)$

离散时间采样

与上面的过程类似,我们有一脉冲串:

用该脉冲串对 $x[n]$ 采样:

其频谱为:

  1. 频域上,在有限频带范围外均为0