# 采样

$\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\ft}{\xleftrightarrow{\F}}$

# 采样定理

## 冲激串采样

$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)$

$x_p(t)=x(t)p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT)\delta(t-nT)$

$X_p(j\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)P(j(\omega-\theta))\dif \theta\\ P(j\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-k\omega_s)$

$X_p(j\omega)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(j(\omega-k\omega_s))$

采样定理

## 零阶保持采样

$X_p(j\omega)H_0(j\omega)$

H_0(j\omega)H_r(j\omega)=H(j\omega)\\ \begin{align} \Rightarrow X_p(j\omega)H_0(j\omega)\cdot H_r(j\omega)&=X_p(j\omega)H(j\omega)\\ &=X(j\omega) \end{align}

$H_0(j\omega)=e^{-j\omega T/2} \left[ \frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega} \right]\\ H_r(j\omega)=H(j\omega)\div \left\{ e^{-j\omega T/2} \left[ \frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega} \right] \right\}$

## 内插重建

\begin{align} x_r(t)&=x_p(t)*h(t)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT)h(t-nT)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \frac{\omega_c T}{\pi} \frac{\sin(\omega_c(t-nT))}{\omega_c(t-nT)} \end{align}

## 欠采样与混叠现象

$x(t)=\cos\omega_0 t$

$\omega_s=6\omega_0$ $\omega_s=6\omega_0/4$

# 离散时间采样

$p(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(n-kN)$

$x_p[n]=x[n]p[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[kN]\delta(n-kN)$

\begin{align} X_p(e^{j\omega})&=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} P(e^{j\theta})X(e^{j(\omega-\theta)}) \dif \theta\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} \left[ \frac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\theta-k\omega_s) \right] X(e^{j(\omega-\theta)}) \dif \theta\\ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X(e^{j(\omega-k\omega_s)}) \end{align}
1. 频域上，在有限频带范围外均为0