系统

系统的分类与性质

连续时间与离散时间系统

连续时间系统(continuous-time system)
输入和输出都是连续时间信号称为连续时间系统,可以用以下符号表示系统的输入-输出关系:
离散时间系统(discrete-time system)
输入和输出都是离散时间信号称为离散时间系统,可以用以下符号表示系统的输入-输出关系:

系统的互联

系统有多种组合方式:

  1. 串联(series interconnnection)/级联(cascade interconnection) 前一个输出是后一个输入
  2. 并联(parallel interconnection) 同输入,合输出
  3. 混联,又串又并
  4. 反馈互联(feedback interconnection) 后一个输出是前一个输入

系统的基本性质

记忆性

无记忆系统(memory system)
对于自变量的每一个值,一个系统的输出仅仅取决于该时刻的输入,则称该系统为无记忆(memoryless)系统,反之为记忆系统

比如:恒等系统(identity system)y=x 是无记忆系统,累加器(accumulator)y=y[n-1]+n 是记忆系统。

可逆性

可逆系统(invertible system)
如果输入与输出时一一对应的,则称该系统是可逆的
如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统,则称后者是前者的 逆系统(inverse system)

因果性

因果系统(causal)
如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在过去的输出,则该系统就称为因果系统,也称为不可预测的系统,因为系统的输出无法预测未来的输入值。

这个可能有点莫名奇妙,我们来看一个例子:$y(t)=x(t+1)$ 当 $t=1$ 时,$y(1)$ 取决于 $x(2)$,也就是取决于输入 $x(t)$ 在 $t=2$ 的值,则这个显然与当前、之前的输入无因果关系,也就不是因果系统。

因果系统的判断其实很简单,就是看输入 $x(t+t_0)$ 中 $t_0$ 大于还是小于0,如果大于0,则系统就不是因果系统,比如 $x(t+1)$ 显然是未来的量;以及 $x(at)$ 如果 $a\neq 1$,则 $x(t)$ 也不是因果的。

稳定性

稳定系统(stable)
如果一个系统当输入有界时,产生的输出也是有界的,则是稳定系统(stable),否则是不稳定系统(unstable)

移不变性/时不变性

移不变系统(shift-invariant)
若系统的特性和行为不随时间改变而改变,则是 移不变系统,也叫 时不变系统(time-invariant)
用数学表示为:$x_1(t)=x(t-t_0)\rightarrow y_1(t)=y(t-t_0)$

下面来说说我的理解。时不变系统其实蛮直观的,就是输入与输出的时移要同步,比如你输入时移了1秒,那你输出也要时移1s,不能说时移个2、3秒。这里我们要区分“输入时移”与“输出时移”。输入时移指的是对于 $x(t)$里面的部分要加/减一个数,也就是对时间轴进行移动;而输出时移是指 $y(t)$ 里面的部分加/减一个数,也就是对函数整个移动。

比如,输入信号为 $x(t)$,系统输出为 $y(t)=x(2t)$ ,现在我们有 $x_1(2t-4)$ 和 $x_2(2(t-4))$,从下图中,很明显发现 $x_1(2t-4)$ 是输入时移,$x_2(2(t-4))$ 是输出时移。

为了方便理解,我提供一个现实解释:$2t$ 相当于我们现在以 2倍速播放音乐;而输入时移相当于我们先跳到音乐4分分钟的位置,再以两倍速播放音乐;输出时移相当于以两倍速播放4分钟。这两种时移的结果不同,所以是时变系统。

做题时判断是否是时不变系统的步骤:

判断系统 $y(t)=x(-t)$ 是否为时不变系统

不是。令$y_1(t)=x_1(-t)$,$y_2(t)=x_2(-t)$,则当 $x_2(t)=x_1(t-t_0)$ 时,$y_2(t) = x_2(-t)=x_1(-t-t_0)$,$y_1(t-t_0)=x_1(-t+t_0)$,显然 $y_2(t) \neq y_1(t-t_0)$

技巧:
(1)如果一个函数满足 $y(t)=f(t)x(t)$ ,则一般是时变的。
(2)如果一个函数满足 $y(t)=x(f(t))$,且 $f(t)\neq t$,则一般是时变的

扩展阅读:知乎理解离散时不变系统的含义

线性性

线性系统
满足可加性1(additivity)和比例性2(scaling)/齐次性(homogeneity)的系统称为线性系统
用数学定义为:$ax_1(t)+bx_2(t)\rightarrow ay_1(t)+by_2(t)$ 或 $ax_1[n]+bx_2[n]\rightarrow ay_1[n]+by_2[n]$

我们可以通过以下方法来理解/判断线性系统:

  1. 先输入系统再线性组合:$y_1(t)=T[x_1(t)], y_2(t)=T[x_2(t)]$ 得到$ay_1(t)+by_2(t)=aT[x_1(t)]+bT[x_2(t)]$
  2. 先经过线性组合再输入系统:$x_3(t)=ax_1(t)+bx_2(t)$ 得到 $T[x_3(t)]$
  3. 比较上两式是否相同,是则为线性系统

例题: $$y[n]=x[n^2]$$

答案: $$ y_1[n]=x_1[n^2]=T[x_1[n]],\;y_2[n]=x_2[n^2]=T[x_2[n]]\\ T[a_1x_1[n]+a_2x_2[n]] \begin{align} &=ax_1[n^2]+bx_2[n^2]\\ &=ay_1[n]+by_2[n]\\ &=aT[x_1[n]]+bT[x_2[n]] \end{align} $$


有一种系统,其基本形式为 $r(t)=e(t)+C$, $C\neq 0$,这显然不是线性系统,但这种系统在工程中很常见,我们定义这种系统为 增量线性系统(incrementally linear system),其基本特征为:激励和响应的增量满足齐次性和叠加性,即

或者说,我们将系统响应分为零输入响应3 $r(t)=C$,和零状态响应4 $r(t)=C$,只要零状态响应满足线性条件即可。

系统的表示方法

  • 输入输出方程:$y(t)=f(x(t))$,有些书上也写成 $r(t)=f(e(t))$。题目经常给出常系数微分方程,要你求输入输出方程。
  • 框图:利用基本的功能部件(标量乘法器、乘法器、加法器、积分器、微分器等)的组合来表示复杂的系统

下面是一些基本部件的框图。

信号与系统的系统仿真框图怎么画?

系统的研究

对系统的研究包括:

  1. 已知系统特性和激励,求输出 —— 分析;
  2. 已知系统输入和输出,求特性 —— 识别;
  3. 已知输入和预期输出,求系统 —— 设计;

系统分析的步骤

  1. 建立数学模型:把系统的工作表达为抽象的数学模型;
  2. 分析:解方程,通过数学推导得到结果;
  3. 物理解释:将结果从物理意义上进行解释,便于工程应用。

这门课程主要学的就是如何分析。

系统分析的方法

  1. 时域法:直观但求解困难
    1. 经典法
    2. 算子法——第2章
  2. 变换域法:求解容易但需要作两次变换
    1. 频域法——第4、5、6、7章
    2. 复频域法——第8、9章
  3. 状态方程法:
  1. 可加性:$y_1(t)+y_2(t)$ 是对 $x_1(t)+x_2(t)$ 的响应 

  2. 比例性/齐次性:$ay_1(t)$ 是对 $ax_1(t)$ 的响应 

  3. 系统在输入为0时,仅由系统初始储能导致的系统响应。 

  4. 系统在初始储能为0时,仅由输入信号导致的系统响应。