\(\begin{align*}\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\end{align*}\)
引入
卷积和
在说什么是卷积之前，先说说为什么要“卷积”。我们知道 LTI系统，也就是线性时不变系统有两个特征：线性+时不变，也就是说我们对输入做加、减、乘、除和时移，输出也会同样地做相同运算。那么会不会有一种“元信号”，能够通过运算表示出其他信号？这样，我们只要知道元信号对应的输出，再进行运算，就能知道任何信号的输出。也就是：
\[元信号 \rightarrow 输出\\ \quad\Downarrow \;变换\;\Downarrow\\ 任何信号 \rightarrow 输出\]那么“元信号”到底是什么？对于离散的情况，我们很容易想到 单位脉冲信号：
显然，我们可以用单位脉冲信号表示任何离散信号：
\[\begin{align} x[n]&=\cdots+\delta[n+1] x[n]+\delta[n]x[n]+\delta[n-1]x[n]+\cdots\\ &=\cdots+\delta[n]x[n-1]+\delta[n]x[n]+\delta[n]x[n+1]+\cdots \end{align}\]那么，若我们知道的单位脉冲信号的输出：$\delta[n]\rightarrow h[n]$
由于
- 时不变性质：$\delta[n-k]\rightarrow h[n-k]$
- 线性性：$x[k]\delta[n-k]\rightarrow x[k]h[n-k]$
叠加可得： \(\begin{align} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\delta[n-k]&\rightarrow\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]\\ \Downarrow&\\ x[n]&\rightarrow y[n] \end{align}\)
可见，如果我们知道离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应 $h[n]$，则我们可以算出任意信号 $x[n]$ 的响应 $y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]$
我们把这种计算称为卷积和（convolution sum），记作：$x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]$
卷积积分
对于连续的情况，当我们仿照上面来思考时，我们所遇到的第一个难题是：冲激函数可以表示其他函数吗？我们知道冲激函数的定义为：
\[\delta(t) = \begin{cases} 0, \; t \ne 0\\ \infty, \; t=0 \end{cases}\]但这个定义是极度不准确的，因为缺少了一部分：
\[\int_{-\infty}^\infty \delta(t) \dif t= 1 \rightarrow \text{强度为1}\]我们不能只看到 $\infty$，还要看到 $\int\dif t$，这两者共同作用下，有：
\[\int_{-\infty}^\infty x(t)\delta(t) \dif t= \int_{-\infty}^\infty x(0)\delta(t) \dif t=x(0)\] \[x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)\dif\tau\\\]假如我们已知系统对冲激信号的响应：$\delta(t)\rightarrow y_\delta(t)$
同理，由时不变性质：$\delta(t-\tau) \rightarrow y_\delta(t-\tau)$
由齐次性：$x(\tau)\delta(t-\tau) \rightarrow x(\tau)y_\delta(t-\tau)$
叠加可得：$\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau) \dif \tau \rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)y_\delta(t-\tau) \dif \tau$
从而对于信号 $x(t)$ 有 $x(t) \rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau) \dif \tau$，我们称之为 卷积积分（convolution integral）。
杜阿美积分（扩展）
假如我们已知线性时不变系统对阶跃信号的响应：$u(t)\rightarrow y_u(t)$
由时不变性质：$u(t-\tau) \rightarrow y_u(t-\tau)$
由齐次性：$x’(\tau)u(t-\tau) \rightarrow x’(\tau)y_u(t-\tau)$
从而我们可以进行叠加：$\int_{0^+}^t e’(\tau)u(t-\tau) \dif \tau \rightarrow \int_{0^+}^t e’(\tau)y_u(t-\tau) \dif \tau$
从而对于信号 $x(t)$ 有： \(\begin{align} x(t) &= x(0)u(t) + \int_{0^+}^t x'(\tau)u(t-\tau) \dif \tau \\ \downarrow \;\;&\\ y_x(t) &= x(0)y_u(t) + \int_{0^+}^t e'(\tau)y_u(t-\tau) \dif \tau \end{align}\)
因此只要知道系统对阶跃信号的响应，就可以求出系统对任意连续可导信号的响应。我们将 $x(t)\rightarrow e(0)y_u(t) + \int_{0^+}^t e’(\tau)y_u(t-\tau) \dif \tau$ 称为杜阿美积分（Duhamel’s Integral）
杜阿美积分的另一种形式为为：
\[x(t)\rightarrow x(0)y_u(t) + \int_{0^+}^t x'(t-\tau)y_u(\tau) \dif \tau\]由于很多信号是很难求导甚至不可求导的，所以杜阿美积分很难求。所以卷积积分比杜阿美积分更好用。
卷积
- 卷积
- f, g 的卷积记为 $f*g$
- 连续定义为：$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) \dif \tau$
- 离散定义为：$(f*g)[n]=\sum_{\tau=-\infty}^\infty f[\tau]g[n-\tau]$
以连续定义为例，我们观察等号两边的自变量，会发现：$(x)=(\tau)+(x-\tau)$。如果将右边改写为：$x=a(\tau)+b(\tau)$，令 $x$ 变化，则相当于（图中 x=a,y=b）：
如果我们单独选取其中的一条线，比如 $1=a+b$，线上每个点对应一个 $f(a)g(b)$，我们把这条线卷起来（积分），就得到“卷积”。所以我认为，“积”代表的是乘积，“卷”代表的是相加。
卷积的性质
卷积具有如下性质：
- 交换律 Commutativity：$f_1*f_2=f_2*f_1$
Proof
$$ \text{Let } \sigma=t-\tau\\ \begin{align} f_1(t)*f_2(t)&=\int_{\infty}^{-\infty} f_1(t-\sigma)f_2(\sigma)(-\dif \sigma)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f_2(\sigma)f_1(t-\sigma)\dif \sigma\\ &=f_2(t)*f_1(t) \end{align} $$
- 结合律 Associativity：$(f_1*f_2)*f_3=f_1*(f_2*f_3)$
- 分配律 Distributivity：$f_1*(f_2+f_3)=f_1*f_2+f_1*f_3$
-
Duration：Let the signals $f_1(t)$ and $f_2(t)$ have durations, respectively, defined by the time intervals $[t_1, T_1]$ and $[t_2,T_2]$ then
\(f(t)=f_1(t)*f_2(t)= \begin{cases} 0 & t\leq t_1+t_2\\ \int_{(t_1+t_2)/2}^{(T_1+T_2)/2} f_1(\tau)f_2(t-\tau)\dif \tau & t_1+t_2\leq t\leq T_1+T_2\\ 0 & t\geq T_1+T_2\\ \end{cases}\)
Proof
$$ (f_1*f_2)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau) \dif \tau\\ \because \tau\in [t_1,T_1],\; t-\tau\in [t_2, T_2]\\ \therefore t_1 \leq \tau \leq T_1,\; t_1+t_2\leq t \leq T_1+T_2\\ $$ $$ (f_2*f_1)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_2(\tau)f_1(t-\tau) \dif \tau\\ \because \tau\in [t_2,T_2],\; t-\tau\in [t_1, T_1]\\ \therefore t_2 \leq \tau \leq T_2,\; t_1+t_2\leq t \leq T_1+T_2\\ $$ $$ 综上，\frac{t_1+t_2}{2}\leq \tau \leq\frac{T_1+T_2}{2}\\ t_1+t_2\leq t \leq T_1+T_2 $$
- 时移 Time Shifting：Let $f(t)=f_1(t)*f_2(t)$. Then, convolutions of shifted signals are given by \(f(t-\sigma_1)=f_1(t-\sigma_1)*f_2(t)\\ f(t-\sigma_2)=f_1(t)*f_2(t-\sigma_2)\\ f(t-\sigma_1-\sigma_2)=f_1(t-\sigma_1)*f_2(t-\sigma_2)\)
- 微分：$\frac{\dif}{\dif t} [f(t)*g(t)]=\left[ \frac{\dif}{\dif t} f(t) \right]*g(t)$ $=f(t)* \left[ \frac{\dif}{\dif t} g(t) \right]$（不是加）
- 积分：$\int_{-\infty}^t f(\tau)*g(\tau) \dif \tau$ $=\int_{-\infty}^t f(\tau)\dif \tau * g(\tau)$ $=f(\tau)*\int_{-\infty}^t g(\tau)\dif \tau $（不是加）
- 多重微积分：$f(t)^{(m)}*g(t)^{(n)}=[f(t)*g(t)]^{(m+n)}$
利用以上性质，可以让求解卷积变得更简单。比如：
- 利用交换律，使得简单地函数处在 $f(t-\tau)$ 的位置。（合理选择作为“平移”的函数）
例题：计算 $e^{-t}u(t)$ 和 $\sin(t)$ 的卷积
答案
$$
e^{-t}u(t)*\sin(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(t-\tau)} u(t-\tau)\sin(\tau) \dif \tau\\
=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\tau)} u(\tau)\sin(t-\tau) \dif \tau
$$
若采用第一个等式：
$$
\begin{align}
e^{-t}u(t)*\sin(t)&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(t-\tau)} u(t-\tau)\sin(\tau) \dif \tau\\
&=e^{-t}\int_{-\infty}^t e^\tau \sin(\tau)\dif \tau\\
&=e^{-t}\left[ \frac{e^t}{2}\left( \sin t -\cos t \right)-0 \right]\\
&=\frac{1}{2}(\sin t -\cos t )
\end{align}
$$
若采用第二个等式：
$$
\begin{align}
\because \int_0^\infty e^{-\tau}\sin(t-\tau)\dif \tau &= \int_0^\infty e^{-\tau}[\sin t\cos\tau-\cos t\sin\tau]\dif \tau\\
\therefore e^{-t}u(t)*\sin(t)&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\tau)} u(\tau)\sin(t-\tau) \dif \tau\\
&=\sin(t)\int_0^\infty e^{-\tau} \cos(\tau)\dif \tau -\cos(t)\int_0^\infty e^{-\tau}\sin(\tau) \dif \tau\\
&=\sin(t)\left[ 0-\frac{1}{2}(-\cos 0+\sin0) \right]-\cos(t)\left[0-\frac{1}{2}(-\sin 0-\cos0)\right]\\
&=\frac{1}{2}(\sin t -\cos t )
\end{align}
$$
- 利用微分、积分化简折线形的信号
例题：求下面两个信号的卷积。
$$
x(t)=u(t)-u(t-1)\\
y(t)=
\begin{cases}
1+x & 0\leq x \lt 1\\
3-x & 1\leq x \lt 2
\end{cases}
$$
解：这题直接用定义算有点复杂，我们可以先对 $y$ 进行微分：
$$
\frac{\dif y(t)}{\dif t}=
\begin{cases}
1 & 0\leq x \lt 1\\
-1 & 1\leq x \lt 2
\end{cases}
$$
再根据积分性质：
$$
\int^{t}_{-\infty} x(t)*\frac{\dif y(t)}{\dif t} \dif t=x(t)*\int^{t}_{-\infty} \frac{\dif y(t)}{\dif t} \dif t = x(t)*y(t)
$$
先计算 $x(t)$ 和 $\frac{\dif y(t)}{\dif t}$ 的卷积，然后对结果积分，就求得 $x(t)*y(t)$。计算很简单，这里就不写了。
注：细心的同学可能会发现，如果将 $y(t)$ 向上平移一个单位，微分后再和 $x(t)$ 卷积、积分，得到的结果和原题是一样的。这是因为，上面的方法要求两个信号必须都是有始信号。至于为什么要求是有始信号，可以看这篇论文 关于利用微分与积分性质计算卷积的条件，简单来说就是要满足 $f(t)=\int_{-\infty}^t f'(t)\dif t=f(t)-f(-\infty)$
关于积分、微分性质的练习题，可以看 用卷积的积分、微分性质，计算卷积