卷积和与卷积积分

引入

卷积和

在说什么是卷积之前,先说说为什么要“卷积”。我们知道 LTI系统,也就是线性时不变系统有两个特征:线性+时不变,也就是说我们对输入做加、减、乘、除和时移,输出也会同样地做相同运算。那么会不会有一种“元信号”,能够通过运算表示出其他信号?这样,我们只要知道元信号对应的输出,再进行运算,就能知道任何信号的输出。也就是:

那么“元信号”到底是什么?对于离散的情况,我们很容易想到 单位脉冲信号:

显然,我们可以用单位脉冲信号表示任何离散信号:

那么,若我们知道的单位脉冲信号的输出:$\delta[n]\rightarrow h[n]$

由于

  1. 时不变性质:$\delta[n-k]\rightarrow h[n-k]$
  2. 线性性:$x[k]\delta[n-k]\rightarrow x[k]h[n-k]$

叠加可得:

可见,如果我们知道离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应 $h[n]$,则我们可以算出任意信号 $x[n]$ 的响应 $y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]$

我们把这种计算称为卷积和(convolution sum),记作:$x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]$

卷积积分

对于连续的情况,当我们仿照上面来思考时,我们所遇到的第一个难题是:冲激函数可以表示其他函数吗?我们知道冲激函数的定义为:

但这个定义是极度不准确的,因为缺少了一部分:

我们不能只看到 $\infty$,还要看到 $\int\dif t$,这两者共同作用下,有:

假如我们已知系统对冲激信号的响应:$\delta(t)\rightarrow y_\delta(t)$

同理,由时不变性质:$\delta(t-\tau) \rightarrow y_\delta(t-\tau)$

由齐次性:$x(\tau)\delta(t-\tau) \rightarrow x(\tau)y_\delta(t-\tau)$

叠加可得:$\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau) \dif \tau \rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)y_\delta(t-\tau) \dif \tau$

从而对于信号 $x(t)$ 有 $x(t) \rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau) \dif \tau$,我们称之为 卷积积分(convolution integral)

杜阿美积分(扩展)

假如我们已知线性时不变系统对阶跃信号的响应:$u(t)\rightarrow y_u(t)$

由时不变性质:$u(t-\tau) \rightarrow y_u(t-\tau)$

由齐次性:$x’(\tau)u(t-\tau) \rightarrow x’(\tau)y_u(t-\tau)$

从而我们可以进行叠加:$\int_{0^+}^t e’(\tau)u(t-\tau) \dif \tau \rightarrow \int_{0^+}^t e’(\tau)y_u(t-\tau) \dif \tau$

从而对于信号 $x(t)$ 有:

因此只要知道系统对阶跃信号的响应,就可以求出系统对任意连续可导信号的响应。我们将 $x(t)\rightarrow e(0)y_u(t) + \int_{0^+}^t e’(\tau)y_u(t-\tau) \dif \tau$ 称为杜阿美积分(Duhamel’s Integral)

杜阿美积分的另一种形式为为:

由于很多信号是很难求导甚至不可求导的,所以杜阿美积分很难求。所以卷积积分比杜阿美积分更好用。

卷积

卷积
f, g 的卷积记为 $f*g$
连续定义为:$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) \dif \tau$
离散定义为:$(f*g)[n]=\sum_{\tau=-\infty}^\infty f[\tau]g[n-\tau]$

以连续定义为例,我们观察等号两边的自变量,会发现:$(x)=(\tau)+(x-\tau)$。如果将右边改写为:$x=a(\tau)+b(\tau)$,令 $x$ 变化,则相当于(图中 x=a,y=b):

如果我们单独选取其中的一条线,比如 $1=a+b$,线上每个点对应一个 $f(a)g(b)$,我们把这条线卷起来(积分),就得到“卷积”。所以我认为,“积”代表的是乘积,“卷”代表的是相加。

卷积的性质

卷积具有如下性质:

  1. 交换律 Commutativity:$f_1*f_2=f_2*f_1$
    Proof $$ \text{Let } \sigma=t-\tau\\ \begin{align} f_1(t)*f_2(t)&=\int_{\infty}^{-\infty} f_1(t-\sigma)f_2(\sigma)(-\dif \sigma)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f_2(\sigma)f_1(t-\sigma)\dif \sigma\\ &=f_2(t)*f_1(t) \end{align} $$
  2. 结合律 Associativity:$(f_1*f_2)*f_3=f_1*(f_2*f_3)$
  3. 分配律 Distributivity:$f_1*(f_2+f_3)=f_1*f_2+f_1*f_3$
  4. Duration:Let the signals $f_1(t)$ and $f_2(t)$ have durations, respectively, defined by the time intervals $[t_1, T_1]$ and $[t_2,T_2]$ then

    Proof $$ (f_1*f_2)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau) \dif \tau\\ \because \tau\in [t_1,T_1],\; t-\tau\in [t_2, T_2]\\ \therefore t_1 \leq \tau \leq T_1,\; t_1+t_2\leq t \leq T_1+T_2\\ $$ $$ (f_2*f_1)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_2(\tau)f_1(t-\tau) \dif \tau\\ \because \tau\in [t_2,T_2],\; t-\tau\in [t_1, T_1]\\ \therefore t_2 \leq \tau \leq T_2,\; t_1+t_2\leq t \leq T_1+T_2\\ $$ $$ 综上,\frac{t_1+t_2}{2}\leq \tau \leq\frac{T_1+T_2}{2}\\ t_1+t_2\leq t \leq T_1+T_2 $$
  5. 时移 Time Shifting:Let $f(t)=f_1(t)*f_2(t)$. Then, convolutions of shifted signals are given by
  6. 微分:$\frac{\dif}{\dif t} [f(t)*g(t)]=\left[ \frac{\dif}{\dif t} f(t) \right]*g(t)$ $=f(t)* \left[ \frac{\dif}{\dif t} g(t) \right]$(不是加)
  7. 积分:$\int_{-\infty}^t f(\tau)*g(\tau) \dif \tau$ $=\int_{-\infty}^t f(\tau)\dif \tau * g(\tau)$ $=f(\tau)*\int_{-\infty}^t g(\tau)\dif \tau $(不是加)
  8. 多重微积分:$f(t)^{(m)}*g(t)^{(n)}=[f(t)*g(t)]^{(m+n)}$

利用以上性质,可以让求解卷积变得更简单。比如:

  • 利用交换律,使得简单地函数处在 $f(t-\tau)$ 的位置。(合理选择作为“平移”的函数)

例题:计算 $e^{-t}u(t)$ 和 $\sin(t)$ 的卷积

答案

$$ e^{-t}u(t)*\sin(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(t-\tau)} u(t-\tau)\sin(\tau) \dif \tau\\ =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\tau)} u(\tau)\sin(t-\tau) \dif \tau $$
若采用第一个等式:
$$ \begin{align} e^{-t}u(t)*\sin(t)&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(t-\tau)} u(t-\tau)\sin(\tau) \dif \tau\\ &=e^{-t}\int_{-\infty}^t e^\tau \sin(\tau)\dif \tau\\ &=e^{-t}\left[ \frac{e^t}{2}\left( \sin t -\cos t \right)-0 \right]\\ &=\frac{1}{2}(\sin t -\cos t ) \end{align} $$
若采用第二个等式:
$$ \begin{align} \because \int_0^\infty e^{-\tau}\sin(t-\tau)\dif \tau &= \int_0^\infty e^{-\tau}[\sin t\cos\tau-\cos t\sin\tau]\dif \tau\\ \therefore e^{-t}u(t)*\sin(t)&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\tau)} u(\tau)\sin(t-\tau) \dif \tau\\ &=\sin(t)\int_0^\infty e^{-\tau} \cos(\tau)\dif \tau -\cos(t)\int_0^\infty e^{-\tau}\sin(\tau) \dif \tau\\ &=\sin(t)\left[ 0-\frac{1}{2}(-\cos 0+\sin0) \right]-\cos(t)\left[0-\frac{1}{2}(-\sin 0-\cos0)\right]\\ &=\frac{1}{2}(\sin t -\cos t ) \end{align} $$

  • 利用微分、积分化简折线形的信号

例题:求下面两个信号的卷积。
$$ x(t)=u(t)-u(t-1)\\ y(t)= \begin{cases} 1+x & 0\leq x \lt 1\\ 3-x & 1\leq x \lt 2 \end{cases} $$

解:这题直接用定义算有点复杂,我们可以先对 $y$ 进行微分:
$$ \frac{\dif y(t)}{\dif t}= \begin{cases} 1 & 0\leq x \lt 1\\ -1 & 1\leq x \lt 2 \end{cases} $$
再根据积分性质:
$$ \int^{t}_{-\infty} x(t)*\frac{\dif y(t)}{\dif t} \dif t=x(t)*\int^{t}_{-\infty} \frac{\dif y(t)}{\dif t} \dif t = x(t)*y(t) $$
先计算 $x(t)$ 和 $\frac{\dif y(t)}{\dif t}$ 的卷积,然后对结果积分,就求得 $x(t)*y(t)$。计算很简单,这里就不写了。

注:细心的同学可能会发现,如果将 $y(t)$ 向上平移一个单位,微分后再和 $x(t)$ 卷积、积分,得到的结果和原题是一样的。这是因为,上面的方法要求两个信号必须都是有始信号。至于为什么要求是有始信号,可以看这篇论文 关于利用微分与积分性质计算卷积的条件,简单来说就是要满足 $f(t)=\int_{-\infty}^t f'(t)\dif t=f(t)-f(-\infty)$

关于积分、微分性质的练习题,可以看 用卷积的积分、微分性质,计算卷积

特殊函数的卷积

参考资料