\[\begin{align*}
\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\p}{\partial}
\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}
\end{align*}\]
设总体 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$，$X_1,\cdots,X_n$ 是来自总体 $N(\mu,\sigma^2)$的样本，$x_1,\cdots,x_n$ 是样本观测值。我们考虑下面的假设问题：
- $H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\neq\mu_0$（双边假设问题）
- $H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu<\mu_0$
- $H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu>\mu_0$
其中，$\mu_0$ 是已知常数。
双边假设问题
| 取检验统计量为 $Z=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$，从而拒绝域为：$W=\left{ | Z | =\left | \dfrac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right | \geq z_{\alpha/2} \right}$ |