题型
联合、边缘、条件
例题：$(X,Y)\sim$$f(x,y)=\begin{cases} A e^{-(x+y)} & x>0,y>0\\ 0 & 其他 \end{cases}$
求：① A；② $f_X(x),f_Y(y)$；③ $Z=X+2Y$，$F_Z(z)$；④ $P\{x \lt Y\}$
解：①
$$
\begin{align}
1&=A\int_0^{+\infty} e^{-x}\dif x \int_0^{+\infty} e^{-2y} \dif y\\
&=\frac{A}{2} \int_0^{+\infty} e^{-x}\dif x \int_0^{+\infty} e^{-2y} \dif (2y)\\
&=\frac{A}{2} \Rightarrow A=2
\end{align}\\
\therefore
f(x,y)=
\begin{cases}
2 e^{-(x+y)} & x>0,y>0\\
0 & 其他
\end{cases}
$$
②
$$
f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \dif y（沿y轴方向积分）\\
x \leq 0 时，f_X(x)=0\\
x \gt 0 时，f_X(x)= \int_0^{+\infty} 2 e^{-(x+y)} \dif y\\
=e^{-x} \int_0^{+\infty} (2y)^0 e^{-2y} \dif (2y)=e^{-x}\\
\therefore f_X(x)=
\begin{cases}
0 & x \leq 0\\
e^{-x} & x\gt 0
\end{cases}
$$
$$
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \dif x （沿x轴方向积分）\\
y\leq 0 时，f_Y(y)=0\\
y\gt 0 时，f_Y(y)=\int_{0}^{+\infty} 2 e^{-(x+2y)} \dif x=2e^{-2y}\\
\therefore f_Y(y)==
\begin{cases}
0 & x \leq 0\\
2e^{-2y} & x\gt 0
\end{cases}
$$
③
$$
F_Z(z)=P\{X+2Y\leq z\}\\
= \iint_{X+2Y\leq z} f(x,y) \dif \sigma（画图）\\
z \lt 0 时，F_Z(z)=0\\
z\geq 0 时，F_Z(z)=\int_0^z e^{-x} \dif x \int_0^{-\frac{1}{2}(x-2)} 2e^{-2y}\dif y\\
=\int_0^z e^{-x} (-e^{-2y})\Big\vert_0^{-\frac{1}{2}(x-z)} \dif x\\
=\int_0^z e^{-x}\dif x - ze^{-z}\\
=1-e^{-z}-ze^{-z}\\
\therefore F_Z(z)==
\begin{cases}
0 & z \lt 0\\
1-(z+1)e^{-z} & z\geq 0
\end{cases}
$$
④
$$
P\{X<Y\}=\iint_{X<Y} f(x,y) \dif \sigma\\
=\int_0^{+\infty} e^{-x} \dif x \int_x^{+\infty} 2 e^{-2y} \dif y\\
=2/3
$$
注：$\Gamma(z)$ 函数：$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \dif t$，并且满足：
① $\Gamma(z)=z\Gamma(z-1)$
② $\Gamma(z)=(z-1)!$
③ $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
这个函数十分重要，请务必记住。
min/max
例题：$P\{x\geq 0, y\geq 0\} = 3/7$，$P\{x\geq 0\}=P\{Y\geq 0\}=4/7$，求 $P\{\max(x,y)\geq 0\}$
分析：可以将 $x\geq 0$ 看作事件A，将 $Y \geq 0$ 看作事件B，那么 $P(A)=P(B)=4/7$，$P(AB)=3/7$
另外，min 要用 $>,\geq$； max 要用 $<,\leq$。所以要对题目进行转换。
解：令 $\{x\geq0\}=A$，$\{Y\geq0\}=B$，$P(A)=P(B)=4/7$，$P(AB)=3/7$，则：
$P\{\max(x,y)\geq0\}=1-P\{\max(x,y)<0\}$$=1-P\{x<0,y<0\}$$=1-P(\bar{A}\cdot \bar{B})=1-P(\overline{A+B})$$=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=5/7$
$X\sim E(\lambda_1)$，$Y\sim E(\lambda_2)$，$X,Y$ 独立，$Z=\min (X,Y)$，求 $f_Z(z)$
解：
1.
$$
F_X(x)=
\begin{cases}
1-e^{-\lambda_1 x} & x\geq 0\\
0 & x<0
\end{cases}\\
F_Y(y)=
\begin{cases}
1-e^{-\lambda_1 y} & y\geq 0\\
0 & y<0
\end{cases}\\
$$
2.
$$
\begin{align}
F_Z(z)&=P\{Z\leq z\}=P\{\min(X,Y)\leq z\}\\
&=1-P\{\min(X,Y)\geq z\}=1-P\{X>z,Y>z\}\\
&=1-P\{X>z\}\cdot P\{Y>z\}\\
&=1-[1-P\{X\leq z\}]\cdot[1-P\{Y\leq z\}]\\
&=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)]\\
&=
\begin{cases}
0 & z<0\\
1-e^{-(\lambda_1+\lambda_2) z} & z\geq 0
\end{cases}
\end{align}
$$
3.
$$
f_Z(z)=
\begin{cases}
0 & z\leq 0\\
(\lambda_1+\lambda_2) e^{-(\lambda_1+\lambda_2)z} & z> 0\\
\end{cases}\\
\therefore Z\sim E(\lambda_1+\lambda_2)
$$
题型二：独立性
题型三：已知 $(x,y)$ 分布，求 $z=g(x,y)$ 的分布