\[\begin{align*}
\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\p}{\partial}
\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}
\end{align*}\]
有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成，而其中个别因素作用很小，这种随机变量可以近似于正态分布，或者说其极限服从正态分布。这就是中心极限定理说明的内容。
定理 （Levy-Lindberg）独立同分布的中心极限定理（CLT）
设随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 相互独立且同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，则对于充分大的 $n$ 有：
\[\sum_{i=1}^n X_i \sim\text{N}(n\mu,n\sigma^2) \quad （近似）\\ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \sim N(0,1)（标准化）\]此时，
\[P(a<\sum_{i=1}^n X_i \leq b) \approx \Phi(\frac{b-n\mu}{\sqrt{n}\sigma})-\Phi(\frac{a-n\mu}{\sqrt{n}\sigma})\]定理 德莫弗-拉普拉斯中心极限定理
$X_n \sim B(n,p)$，则对于充分大的 $n$ 有：
\[X_n \sim N(np,np(1-p))（近似）\\ \frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \sim N(0,1)\]即二项分布充分大时，可以用正态分布来近似。