\(\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial} \end{align*}\)
联合分布律
定义
若二元随机变量 $(X, Y)$ 全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称 $(X, Y)$ 是二元离散型随机变量。若 $(X, Y)$ 所有可能的取值为 $(x_i, y_j)$，则 $P(X=x_i, Y=y_j)=p_{ij}, i,j=1,2…$ 称为二元离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率分布律，简称为 $(X,Y)$ 的分布律。
我们可以用如下表格来表示：
联合分布律的性质：
- $p_{ij}>0$
- $\sum_i\sum_j p_{ij}=1$
例题：一个盒子中有 10 件产品，6件正品，4 件次品。从中取 1 件产品检验，不放回，再取一件。引入如下随机变量：
$$
X=
\begin{cases}
0 & 第 1 次取到次品\\
1 & 第 1 次取到正品
\end{cases}
\quad
Y=
\begin{cases}
0 & 第 2 次取到次品\\
1 & 第 2 次取到正品
\end{cases}
$$
求 $(X,Y)$ 的联合分布律
解：$(X,Y)$ 的所有可能取值数有：$(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$，$(1,1)$
由乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B\vert A)$ 得：
$$
P(X=0, Y=0)=P(X=0)P(Y=0\vert X=0)=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9}=\frac{2}{15}\\
P(X=0, Y=1)=\frac{4}{10}\times \frac{6}{9}=\frac{2}{15}\\
P(X=1, Y=0)=\frac{6}{10}\times \frac{4}{9}=\frac{4}{15}\\
P(X=0, Y=1)=\frac{6}{10}\times \frac{5}{9}=\frac{5}{15}\\
$$
边际分布
$X, Y$ 的边际分布律是：
\[P(X=x_i)=P(X=x_i, \bigcup_{j=1}^\infty (Y=y_j))=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}\equiv p_{i\cdot}\\ P(Y=y_j)=P(\bigcup_{i=1}^\infty(X=x_i), Y=y_j)=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}\equiv p_{\cdot j}\]从图中可以更清楚的看出，$P(X=x_i)$ 就是行相加，$P(Y=y_j)$ 就是列相加。因为写在表格的边儿上，所以我们称为 边际分布律 或 边缘分布律。
条件分布
对于二元离散随机变量 $X,Y$ 的联合概率分布律为：
\[P(X=x_i, Y=y_j)=p_{ij}\]对于固定的 $y_j$，若 $P(Y=y_j)>0$ 则称：
\[P(X=x_i | Y=y_j)=\frac{P(X=x_i, Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{P_{ij}}{P_{\cdot j}}\]为在 $Y=y_j$ 条件下，随机变量 $X$ 的条件分布律。
独立
为了便于对照，将二元连续随机变量的独立也写在这里。
定义 若满足 $F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$ ，则称 $X,Y$ 独立。
但是这种方法并不好判断。我们常用如下等价条件：
等价条件
- 离散型：$X,Y$ 独立 $\Leftrightarrow$ $p_{ij} = p_{i\cdot} \times p_{\cdot j}$
- 连续型：$X,Y$ 独立 $\Leftrightarrow$ $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
我们有以下定理成立：
定理一 $X_1, X_2,\cdots, X_n$ 独立且均服从 $B(1,p)$，则 $X_1+\cdots+X_n\sim B(n,p)$
定理二 $X\sim B(n,p)$ ，$Y\sim B(n_2,p)$，则 $X+Y\sim B(n_1+n_2, p)$
定理三 $X\sim\pi(\lambda_1)$，$Y\sim\pi(\lambda_2)$ 两者独立，则 $X+Y\sim \pi(\lambda_1+\lambda_2)$
（待证明）
min/max
$X,Y$ 相互独立，则：
\[P(\max(X,Y)\leq z)=P(X\leq z, Y\leq z)=P(X\leq z)P(Y\leq z)\\ P(\min(X,Y)\leq z)=1-P(min(X,Y)\geq z)=1-P(X\geq z)P(Y\geq z)\]做题技巧：min 要用 $>,\geq$； max 要用 $<,\leq$