\[\begin{align*}
\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\p}{\partial}
\end{align*}\]
基础知识
- 一元连续随机变量及分布
- 一元离散随机变量及分布
题型
题型一 随机变量函数的分布：$X$ 分布已知，求 $Y=g(x)$ 的分布（密度函数）。
解题步骤如下：
- 写 $X$ 的密度函数
- 写出 $Y$ 的分布函数（这里需要讨论范围）
- 写出 $Y$ 的密度函数
例题：$X\sim U(0,2)$，$Y=x^2+1$，求 $f_Y(y)$
解：
$$
f_X(x) =
\begin{cases}
1/2 & 0<x<2\\
0 & 其他
\end{cases}
$$
由于 $x\in (0,2)$，故 $x^2+1 \in (1,5)$，可分为下面三种情况：
(1) $y<1$，$F_Y(y)=0$
(2) $y\geq 5$，$F_Y(y)=1$
(3) $1\leq y<5$，
$$
\begin{align}
F_Y(y) &= P(Y\leq y) = P(x^2+1\leq y)\\
&=P\{0 < x \leq \sqrt{y-1}\}\\
&= \int_0^{\sqrt{y-1}} 1/2 \dif x\\
&= \frac{1}{2} \sqrt{y-1}\\
\end{align}
$$
$$
\therefore f_Y(y) =
\begin{cases}
\frac{1}{4\sqrt{y-1}} & 1<y<5\\
0 & 其他
\end{cases}
$$