事件独立性
事件独立性指的是 A 是否发生不影响 B 的概率，也就是说，$P(A\vert B)=P(B)$。因此我们有如下定义：
定义
设 $A,B$ 是两事件，如果满足等式 $P(AB)=P(A)P(B)$ 则称事件 $A,B$ 独立
对于三个事件 $A,B,C$ 独立，则要求满足：
\[\begin{cases} P(AB)=P(A)P(B)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C) \end{cases}\]注释
- 若 $P(A)>0,P(B)>0$ 且 $A,B$ 独立，则 $P(A\vert B)=P(A)$，$P(B\vert A)=P(B)$
- $A,B$ 独立 $\Leftrightarrow$ $\bar{A},B$ 独立$\Leftrightarrow$ $A,\bar{B}$ 独立 $\Leftrightarrow$ $\bar{A},\bar{B}$ 独立 （利用减法和加法公式证明）
-
若 $P(A)=0或1$，则 $A,B$ 必然独立
\[\because AB \subset A\\ \therefore P(AB) \leq P(A) = 0\\ \therefore P(AB)=0=P(A)P(B)\\ 再根据注释2，P(\bar{A})=1，从而 \bar{A}、B 独立\] -
$P(A)>0$，$P(B)>0$。若 $A,B$ 独立，则 $AB \neq \varnothing$。反之，若 $AB = \varnothing$，则 $A,B$ 不独立。
\[P(AB)=P(A)P(B)>0 \Rightarrow AB\neq\varnothing\\ P(AB)=0 \neq P(A)P(B) \Rightarrow 不独立\] - 独立是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生机会，而不相容是指事件不可能同时发生
- 可以扩展到 $n$ 个事件独立：$P(A_1A_2\cdot A_n)=\prod_{i=1}^nA_i$
已知$P(A)=0.5$，$P(B)=0.4$，求下列情况下 $P(A\cup B)$
（1）$A,B$独立 （2）$A,B$不相容
（3）$A \in B$ （4）$P(AB)=0.3$
（1）$P(A\cup B)=1-P(\bar{A}\bar{B})=1-P(\bar{A})P(\bar{B})=0.7$
（2）$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.9$
（3）$P(A\cup B)=P(A)=0.5$
（4）$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6$