SCUTEEE

时域中的离散时间信号

\(\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\belowarrow}[1]{\mathop{#1}\limits_{\uparrow}} \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \newcommand{\L}{\mathscr{L}} \end{align*}\)

离散时间信号

时域描述

虽然在信号与系统中已经学过离散时间信号，但我们依然要说一下。

模拟信号（Analog Signal）表示为 $x_a(t)$，其中 $t$ 为连续量；数字信号 $x[n]$ 可以看做对模拟信号的采样，其中 $n$ 为离散量。所以我们将数字信号用序列表示，称作 样本，即：

\[x[n] = \{ \cdots, x[-1], \belowarrow{x}[0], x[1],\cdots \}\]

箭头 $\uparrow$ 指示 $t=0$ 时刻的样本值。

下面说几个概念：

序列可以分解为 实序列 和 虚序列：$x[n]=x_\text{re}[n]+jx_\text{im}[n]$

序列的长度可以为有限长或无限长。对于有限长序列，其 长度 或 时宽 $N=N_右-N_左+1$。我们可以通过 补零 的方法将有限长序列变为无限长序列。

如果序列在 $n \leq N_1$ 时为 0，则为 右边序列，若 $N_1\geq 0$ 则称为 因果序列。反之在 $n \geq N_2$ 时为 0，则为 左边序列，若 $N_2\leq 0$ 则称为 反因果序列。关于这个我们会在后面进一步讨论。

有时候时域分析不方便，我们会对时域样本进行变换。假设 $\bd{x}$ 是序列在时域对应的向量，$\bd{X}$ 则是序列在变换域对应的向量，定义可逆矩阵 $\bd{D}$，满足：

\[正变换：\bd{X}=\bd{Dx}\\ 逆变换：\bd{x}=\bd{D}^{-1}\bd{x}\]

信号的强度

之前学过信号的能量和功率，这里要讲得“强度”类似。我们一般用 $\L_p$ 范数 来衡量：

\[\|x\|_p = \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \big|\, x[n]\,\big|^p \right)^{1/p}\]

$p$ 常取 $1,2,\infty$。范数有一些性质，比如：$|x|_2 \leq |x|_1$，证明过程如下：

\[\|x\|_1 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \big|\, x[n]\,\big|\\ \|x\|_2 = \sqrt{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \big|\, x[n]\,\big|^2 }\\ 对两式平方：\\ \begin{align} \|x\|_1^2 &= (\cdots +|x[-1]|+|x[0]|+|x[1]|+\cdots)^2\\ &= \|x\|_2^2+\sum_{i\neq j} |x[i]\cdot x[j]| \end{align}\]

另一个常用的性质是：$\|x \|\infty = \vert x\vert\text{max}$（容易通过极限来证明）

范数在其他定义中也有用到，比如：

  • 均方根值（rms）：$\text{rms}=\dfrac{\|x\|_2}{\sqrt{N}}$
  • 均方误差（MSE）：$\text{MSE}=\frac{1}{N} (\|y[n] - x[n] \|_2)^2$
  • 相对误差：$\text{E}_\text{rel} = \dfrac{\| y[n]-x[n]\|_2}{\|x[n]\|_2}$
norm(x,1) %L1范数
norm(x,2) %L2范数
norm(x,inf) %L_infinity范数

基本序列

下面列出了一些基本序列，和对应的matlab代码。下面所有的 $n$ 的取值范围都是 $(-\infty,+\infty)$，以后凡是未标范围的都默认是 $(-\infty,+\infty)$。

单位样本序列 Unit Sample Sequence

\[\delta[n]= \begin{cases} 1, & n=0\\ 0, & n\neq 0 \end{cases} =\{ \cdots, 0, 0, \belowarrow{1}, 0, 0, \cdots\}\] 
function [x,n] = impseq(n0,n1,n2)
% Generates x[n] = delta(n-n0); n1<=n<=n2

    n = [n1:n2];
    x = [(n-n0) == 0];

end

单位阶跃序列 Unit Step Sequence

\[u[n]= \begin{cases} 1, & n\geq 0\\ 0, & n\lt 0 \end{cases} =\{ \cdots, 0, 0, \belowarrow{1}, 1, 1, \cdots\}\] 
function [x,n] = stepseq(n0,n1,n2)
% Generates x[n] = u(n-n0); n1<=n<=n2

    n = [n1:n2];
    x = [(n-n0)>=0];

end

指数序列 Exponential Sequence

实指数的形式比较简单：$x[n]=A a^n,\;\; A,a\in \mathbb{R}$；将 $A,a$ 的定义域换成复数域就得到复指数：

\[\alpha = e^{(\sigma_0+j\omega_0)}, \quad A = \vert A \vert e^{j\phi}\\ x[n] = \vert A \vert e^{j\phi} e^{(\sigma_0+j\omega_0)n}\]

有的人喜欢将虚部和实部分开：

\[\begin{align} x[n] &= \vert A \vert e^{\sigma_0n} e^{j(\omega_0n+\phi) }\\ &=\vert A \vert e^{\sigma_0n} \big[ \cos(\omega_0n+\phi) + j \sin(\omega_0n+\phi)\big] \end{align}\]

这样可以很清晰的看出，实部和虚部都是衰减/增长的三角序列。至于什么时候增长，什么时候衰减，以及周期问题，请去复习 SCUTEEE-信号与系统-信号

function [x,n] = expseq(A,a,n1,n2)
% Generates x[n] = A*exp(a*n); n1<=n<=n2

    n = [n1:n2];
    x = A*exp(a*n);

end

正弦序列 Sinusoidal Sequence

说是正弦序列，但其实我们用余弦函数来表示：

\[x[n] = A \cos(\omega_0n+\phi)\]

$A$，$\omega_0$，$\phi$ 分别称为 振幅，归一化角频率 和 相位（准确来讲是初相位）

正弦序列可以分解为 同相分量(in-phase) 与 正交分量(quadrature)：

\[\begin{align} x[n] &=x_i[n]+x_q[n]\\ &=A\cos \phi \cos (\omega_0 n) - A \sin \phi \sin(\omega_n) \end{align}\]

在通信原理中可能会接触一个 IQ调制，其中 I 和 Q 就是指同相与正交。想了解更多，可以去看 详解IQ调制

>> n = [0:10];
>> x = 3*cos(2*pi*n+pi/3)

关于正弦序列的周期问题，我们在 SCUTEEE-信号与系统-信号 已经讨论过，在此仅列举结论：

  1. 若 $\omega_0 N = 2\pi r$（$N,r$ 为正整数），则为周期的。$N$ 的最小取值为基本周期
  2. 在 $[0,\pi]$ 内，振荡频率随 $\omega_0$ 增加而增加，在 $[\pi,\pi]$ 内，振荡频率随 $\omega_0$ 增加而减小。$\pi$ 称为 折叠频率

矩形窗序列 Rectangular Window

\[w_R[n] = \begin{cases} 0, & n<N_1\\ 1, & N_1 \leq n \leq N_2\\ 0, & n>N_2 \end{cases}\] 
function [x,n] = recwindow(n1,n2,n3,n4)
% Generates rectangular window

    n = [n3:n4];
    x = [n>=n1|n<=n2];

end

序列的运算

简单运算

运算 器件 表达式
乘积 multiplication 调制器 $y[n]=x_1[n]\cdot x_2[n]$
标量积 scaling 乘法器 $y[n]=A x_[n]$
相加 addition 加法器 $y[n]=x_1[n]+ x_2[n]$
延迟/超前 shifting 延时器 $y[n]=x[n-N]$（$N<0$ 为延迟，$N>0$ 为超前）
反转（折叠）folding   $y[n]=x[-n]$

序列的基本运算

在实现这几个运算时，要考虑序列不等长，以及序列范围不一致的情况。Matlab 代码如下：

function [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
% implements y(n) = x1(n) + x2(n)
% y = sum sequence over n, which includes n1 and n2
% x1 = first sequence over n1
% x2 = second sequence over n2
% 加法器

    n = min(min(n1)，min(n2)):max(max(n1),max(n2));
    y1 = zeros(1,length(n));
    y2 = y1;
    y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;
    y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;
    y = y1+y2;

end

function [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2)
% implements y(n) = x1(n)*x2(n)
% y = product sequence over n, which includes n1 and n2
% x1 = first sequence over n1
% x2 = second sequence over n2
% 乘法器

    n = min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));
    y1 = zeros(1,length(n));
    y2 = y1;
    y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;
    y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))=x2))=x2;
    y = y1.*y2

end

function [y,n] = sigshift(x,m,k)
% implement y(n) = x(n-k)
% 延时器

    n = m+k;
    y = x;

end

function [y,n] = sigfold(x,n)
% implements y(n) = x(-n)
% 反转

    y = fliplr(x);
    n = -fliplr(n);

end

卷积和 Convolution

\[y[n] = \sum_{k-\infty}^{+\infty} x[n-k]h[k]=x[n]\circledast h[n]\\ 使用 \circledast 以免与共轭 {}^* 混淆\]

卷积和的相关性质请参考：卷积和与卷积积分 - SCUTEEE

function [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
%Modified convolution routine for signal processing
%  [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
%  [y,ny] = convolution result
%  [x,nx] = first signal
%  [h,nh] = second signal

    nyb = nx(1)+nh(1);
    nye = nx(length(x)) + nh(length(h));
    ny = [nyb:nye];
    y = conv(x,h);

end

抽样率转换

抽样率转换实际上就是内插 or 再抽取。假如 $x[n]$ 是抽样率为 $F_T$（Hz）的序列，现在将其转化为抽样率为 $F’_T$（Hz）的序列 $y[n]$，其比值 $R = \dfrac{F’_T}{F_T}$ 定义为 抽样转换比

  • 若 $R>1$，说明抽样率提高，该转化系统为 内插器
  • 若 $R<1$，说明抽样率降低，该转化系统为 抽取器

要实现抽样率转换，最简单的就是进行 上抽样（up-sampling） 和 下抽样（down-sampling） 运算。这两个运算方法很简单：上抽样就是在两个样本之间补零，下抽样就是去掉某些样本。具体如下：

\[\begin{align} &上抽样：x_u[n] = \begin{cases} x[n/L], & n=0,\pm L, \pm 2L\\ 0, &其他 \end{cases}\\ &下抽样：y[n]=x[nM] \end{align}\]

经过上述两个变换后，抽样率变为了 $L$ 倍或 $1/M$ 倍。所以上抽样器也称为 抽样率扩展器，下抽样器也称为 抽样率压缩器。

有限长序列的反转与平移

有时候，我们希望有限长序列在做完运算后，定义域不改变。所以我们规定限长序列的反转与平移运算如下：假如定义域为 $0,1,\cdots,N-1$，则：

  • 反转：$y[n]=x[(-n)\mod N]$ 写作 $x[\langle -n \rangle_N ]$ 1
  • 平移：$y[n]=x[(n-n_0) \mod N]$ 写作 $x[\langle n-n_0 \rangle_N ]$

如果我们将样本放在一个圆周上，那么平移就相当于转动这个圆周，而反转则相当于对这个圆周以 $x[0]$ 对应的直径进行镜像。因此，这两个运算又称作 圆周时间反转（circular shift） 和 圆周平移（circular time-reversal）

扩展：圆周卷积 circular convolution

\[g[n]\,Ⓝ\,h[n] = \sum_{k=0}^{N-1} g[k]h[\langle n-k \rangle_N ]\\ 相当于：\\ \begin{bmatrix} y[0] \\ y[1] \\ \cdots \\y[N-1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h[0] & h[N-1] & \cdots & h[1]\\ h[1] & h[0] & \cdots & h[2]\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ h[N-1] & h[N-2] & \cdots & h[0] \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g[0] \\ g[1] \\ \cdots \\g[N-1] \end{bmatrix}\]

序列的分类

因为懒得打字，所以就抄了别人的博文

  • 基于对称性

    若满足 $x[n] = x^*[-n]$ ，称为 共轭对称序列；

    若满足 $x[n] = - x^*[-n]$ ，称为 共轭反对称序列。

    • 实共轭对称序列称为偶序列
    • 实共轭反对称序列称为奇序列
    • 任何复序列都能表示成共轭对称部分 $x_\text{cs}[n]$ 与共轭反对称部分 $x_\text{ca}[n]$ 之和，其中： \(x_\text{cs}[n]=\frac{1}{2}(x[n]+x^*[-n])\\ x_\text{ca}[n]=\frac{1}{2}(x[n]-x^*[-n])\)
  • 周期信号 与 非周期信号。周期信号用 $\tilde{x}[n]$ 表示
  • 能量信号 与 功率信号
  • 其他序列 有界序列、绝对可和序列、平方可和序列、n点序列等，都是有某些特征的序列。

信号的相关

自相关与互相关

为了比较两个信号的相似程度，我们可以将两个信号相减：

\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (x[n]-y[n-\ell])^2\\ =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (x^2[n]-2x[n]y[n-\ell]+y^2[n-\ell])\]

如果越相似，那么差值就越小。注意到式中，$x^2[n]$ 与 $y^2[n-\ell]$ 都是正值，要让差值越小，那么只能让 $x[n]y[n-\ell]$ 越大。于是我们定义 相关 如下：

\[互相关：r_{xy}[\ell] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]y[n-\ell]\\ 自相关：r_{xx}[\ell] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]x[n-\ell]\\\]

其中，$\ell$ 称为 时滞。自相关和互相关的最大值所对应的 $\ell$ 就是信号最相似的部分。显然，自相关应该在 $\ell=0$ 处取最大值，证明如下：

\[\begin{align} &\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (x[n]-x[n-\ell])^2\\ =& \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^2[n] -2 \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]x[n-\ell] + \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^2 [n-\ell]\\ =& r_{xx}[0] - 2 r_{xx}[\ell]+r_{xx}[0]\\ \geq& 0 \end{align}\\ \therefore r_{xx}[\ell] \leq r_{xx}[0] = \mathscr{E}_x\]

书上有个更为巧妙，适用范围更广的证法：

\[\begin{align} &\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (ax[n]+y[n-\ell])^2\\ =& a^2\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^2[n] +2a \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]y[n-\ell] + \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y^2 [n-\ell]\\ =& a^2 r_{xx}[0] + 2a r_{xy}[\ell]+r_{yy}[0]\\ \geq& 0 \end{align}\\ \therefore \begin{bmatrix} a & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_{xx}[0] & r_{xy}[\ell]\\ r_{xy}[\ell] & r_{yy}[0] \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ 1 \end{bmatrix} \geq 0\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} r_{xx}[0] & r_{xy}[\ell]\\ r_{xy}[\ell] & r_{yy}[0] \end{bmatrix} 半正定\\ \therefore \begin{vmatrix} r_{xx}[0] & r_{xy}[\ell]\\ r_{xy}[\ell] & r_{yy}[0] \end{vmatrix} \geq 0\\ -\sqrt{r_{xx}[0]r_{yy}[0]} \leq r_{xy}[\ell] \leq \sqrt{r_{xx}[0]r_{yy}[0]}\]

这个证明给出了 $r_{xy}[\ell]$ 的上下界，并且在 $y[n]=x[n]$ 时，就得到我们上面自相关的结论。

相关的归一化形式

由于相关不仅会受到相似程度的影响，也会受信号本身的能量影响，因此我们需要对相关进行归一化，即让相关函数的值落在 $[-1,1]$ 之间。注意到 $r_{xy}[\ell]$ 的上下界是 $\sqrt{r_{xx}[0]r_{yy}[0]}$，将自相关和互相关除以这个值就能得到它们的归一化形式

\[\rho_{xx}[\ell] = \frac{r_{xx}[\ell]}{\mathscr{E}_x}\\ \rho_{xy}[\ell] = \frac{r_{xx}[\ell]}{\sqrt{\mathscr{E}_x \mathscr{E}_y}}\]

经过归一化后，$\vert \rho_{xx}[\ell] \vert\leq 1$，$\vert \rho_{xy}[\ell] \vert\leq 1$，与信号本身的大小无关。

本章练习题

2.24(a) 证明：当定义域为 $[0,+\infty)$ 时，因果实序列 $x[n]$ 可以从其偶部 $x_\text{ev}[n]$ 中完全恢复出来；而当定义域为 $(0,+\infty)$ 时，因果实序列 $x[n]$ 可以从其奇部 $x_\text{od}[n]$ 中完全恢复出来。

证：$x[n]$ 的偶部和奇部可以表示为：
$$ x_\text{ev}[n] = \frac{x[n]+x[-n]}{2}\\ x_\text{od}[n] = \frac{x[n]-x[-n]}{2} $$ 由前提条件，在 $(-\infty,0)$ 上 $x[n]=0$，所以有：
$$ x_\text{ev}[n] = \frac{x[n]}{2},\; n>0\\ x_\text{od}[n] = \frac{x[n]}{2},\; n>0\\ \therefore x[n]=2x_\text{ev}[n]=2x_\text{od}[n],\; n>0 $$ 再考虑 $x=0$ 处，显然 $x[0]=x[-0]$，所以有：
$$ x_\text{ev}[0] = x[0]\\ x_\text{od}[0] = 0\quad\\ $$ 综上，可以从偶部得到因果序列在 $n\geq 0$ 处的值，可以从虚部得到因果序列在 $n >0$ 处的值。证毕。
另外，在推导过程中并未考虑序列的实部与虚部，说明该结论对复序列一样成立。


2.24(b) 证明：因果复序列 $y[n]$ 可以从其共轭对称部分 $y_\text{cs}[n]$ 中完全恢复出来；$y[n]$ 可以从其共轭反对称部分 $y_\text{ca}[n]$ 中完全恢复出来。

证：共轭对称部分与共轭反对称部分可以表示为：
$$ \begin{align} y_\text{cs}[n] &= \frac{1}{2}(y[n]+y^*[-n])\\ &=\frac{y_\text{re}[n]+y_\text{re}[-n]}{2}+j \frac{y_\text{im}[n]-y_\text{im}[-n]}{2}\\ &=y_\text{re,ev}[n]+y_\text{im,od}[n]\\ y_\text{ca}[n] &= \frac{1}{2}(y[n]-y^*[-n])\\ &=\frac{y_\text{re}[n]-y_\text{re}[-n]}{2}+j \frac{y_\text{im}[n]+y_\text{im}[-n]}{2}\\ &=y_\text{re,od}[n]+y_\text{im,ev}[n] \end{align} $$ 根据上一题 2.24(a) 的结论：可以从偶部得到因果信号在 $n\geq 0$ 处的值，可以从虚部得到因果信号在 $n >0$ 处的值。我们可以推导出如下结论：

  （1） 可以从 $y_\text{cs}[n]$ 得到 $y_\text{re}[n]$ 在 $n\geq 0$ 处的值，以及 $y_\text{im}[n]$ 在 $n>0$ 处的值。
  （2） 可以从 $y_\text{ca}[n]$ 得到 $y_\text{re}[n]$ 在 $n>0$ 处的值，以及 $y_\text{im}[n]$ 在 $n\geq 0$ 处的值。

因此，当所有 $n>0$ 时，因果复序列 $y[n]$ 可以从其共轭对称部分 $y_\text{cs}[n]$ 中完全恢复出来，也可以从其共轭反对称部分 $y_\text{ca}[n]$ 中完全恢复出来。证毕。


2.39(d)(e) 求以下信号的基本周期：
$$ \begin{align} \text{(d)}\;\tilde{x}[n]&=6\sin(0.15\pi n)-\cos(0.12\pi n+0.1\pi)\\ \text{(e)}\;\tilde{x}[n]&=\sin(0.1\pi n + 0.75\pi)-3\cos(0.8\pi n+0.2\pi)+\cos(1.3\pi n) \end{align} $$

解：求出各部分的基本周期，再求最小公倍数。
对于 $\text{(d)}$，其各部分的基本周期分别为：$T_1=\frac{2\pi}{0.15\pi}\times3=40$，$T_2=\frac{2\pi}{0.12\pi}\times 3=50$，则 $T=\frac{40\times50}{\text{GCD}(40,50)}=200$
对于 $\text{(d)}$，其各部分的基本周期分别为：$T_1=\frac{2\pi}{0.1\pi}=20$，$T_2=\frac{2\pi}{0.8\pi}\times 2=5$，$T_3=\frac{2\pi}{1.3\pi}\times 13=20$，则 $T=20$


2.44 用单位阶跃序列 $\mu[n]$ 表示 $x[n]=\{2.1,\belowarrow{-3.3},-1.7,5.2\}$

解：仿照杜阿美积分，我们可以写出： $$ \begin{align} x[n]=&\mu[n+1](x[-1]-0)\\ &+\mu[n+0](x[0]-x[-1])\\ &+\mu[n-1](x[1]-x[0])\\ &+\mu[n-2](x[2]-x[1])\\ &+\mu[n-3](0-x[2])\\ =&2.1\mu[n+1]-5.4\mu[n+0]+1.6\mu[n-1]\\ &+6.9\mu[n-2]-5.2\mu[n-3] \end{align} $$


2.51 连续时间信号 $x_a(t)=\cos \Omega_o t$ 在 $t=nT$ 抽样，$-\infty\lt n\lt +\infty$，生成离散时间序列 $x[n]=x_a(nT)=\cos (\Omega_o nT)$。当 $T$ 取咩值时 $x[n]$ 是一个周期序列？若 $\Omega_o=30\text{rad}$ 且 $T=\pi/6\text{s}$，$x[n]$ 的基本周期是多少？

解：若 $x[n]$ 是一个周期序列，则要满足 $\dfrac{2\pi}{\Omega_o T}=\dfrac{N}{r}$，$N,r\in \mathbb{N}$，即 $T=k\dfrac{2\pi}{\Omega_o}且 T\neq 0$，$k\in\mathbb{R}$

若 $\Omega_o=30\text{rad}$ 且 $T=\pi/6\text{s}$，则 $x[n]=\cos(5 \pi n)$，基本周期 $T=\dfrac{2\pi}{5\pi}\times 5=2$

  1. 我们用 $\langle n \rangle_N$ 表示 $n \mod N$ ，某些教材（比如 Oppenheim 的教材）也将取模运算写作：$((n))_N$ ↩

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