线性相位 FIR
前面说过，零相位系统的时域响应以 n=0 对称，如果我们将它进行平移，DTFT频率上对应一个频移，就会得到线性相位 FIR
设 $N+1$ 长的 FIR 滤波器为：
\[H(z)=\sum_{n=0}^N h[n]z^{-n}\]设频率响应为：
\[H(e^{}j\omega)=|H(e^{j\omega}| e^{j\phi(\omega)}\]因为是线性相位，所以 $\phi(\omega)=-\alpha \omega + \beta$，其中 $\alpha$ 是时延因子
从而：
\[\begin{aligned} |H(e^{j\omega}|&=H(e^{}j\omega) e^{-j\phi(\omega)}\\ &=\sum_{n=0}^N h[n] e^{-j[(n-\alpha)\omega+\beta]} \end{aligned}\]上式中的虚部为0，所以：
\[\sum_{n=0}^N h[n] \sin[(\alpha-n)\omega-\beta]=0\]上面有点复杂，为了简化分析，我们不妨这样考虑：$\sin$ 是奇/偶函数，则$h[n]$是偶/奇函数就能让上式为0.
所以我们有两种情况：
- $h[n]$ 为偶，$\sin$ 为奇
- $h[n]=h[N-n]$
- $\beta=0,\alpha=\frac{N}{2}$
- $h[n]$ 为奇，$\sin$ 为偶
- $h[n]=-h[N-n]$
- $\beta=\frac{\pi}{2},\alpha=\frac{N}{2}$
另外，由于 $h[n]$ 的长度可以是奇数或偶数，所以一共有 4 种类型：
Ⅰ型 FIR 传输函数
- 奇数长度，偶对称
- $\vert H(e^{j\omega})\vert =h[\frac{N}{2}]+2 \sum_{n=0}^{N/2-1}h[\frac{N}{2}-n]\cos(\omega n)$
- $\theta=-\frac{N}{2}\omega+\beta,\beta=0,\pi$
- $\tau_g(\omega)=\frac{\dif \theta(\omega)}{\dif \omega}=-N/2$
Ⅱ型 FIR 传输函数
- 偶数长度，偶对称
- $\vert H(e^{j\omega})\vert =2 \sum_{n=0}^{(N+1)/2}h[\frac{N+1}{2}-n]\cos(\omega (n-\frac{1}{2})$
- $\theta=-\frac{N}{2}\omega+\beta,\beta=0,\pi$
- $\tau_g(\omega)=\frac{\dif \theta(\omega)}{\dif \omega}=-N/2$
Ⅲ型 FIR 传输函数
- 奇数长度，奇对称
Ⅳ型 FIR 传输函数
- 偶数长度，奇对称
线性相位 FIR 的零极点
偶对称的多项式满足：$H(z)=z^{-N}H(z^{-1})$，称为 镜像多项式
奇对称的多项式满足：$H(z)=-z^{-N}H(z^{-1})$，称为 镜像多项式
根据上两式，若 $\xi_0$ 是一个零点，则 $1/\xi_0$ 也是零点。又因为实冲激响应的滤波器的零点以复共轭的方式出现，所以下面四个零点一起出现：
\[r e^{\pm j \phi} \quad \frac{1}{r} e^{\pm j \phi}\]- 当零点在单位圆上时，只有两个。
- 当零点在实轴上时，也只有两个。
- 当零点在 $z=\pm 1$ 时，只有一个零点。（另外，偶数个 $z=1$ 对应镜像多项式，奇数个对应反镜像多项式；$z=-1$ 对应镜像多项式）
而要产生 $k$ 个零点，就要有 $k$ 阶的多项式，反之亦然。注意到上面的零点组合中，只有 $z=\pm 1$ 是奇数。
那么我们说这些废话和 FIR 有什么关系呢？还记得上面的四种 FIR 的长度吗？我们可以从长度知道它们的零点组合：
- Ⅰ型 FIR——奇数长，偶数阶，镜像多项式
- 在 $z=+ 1$ 有偶数个零点，或没有
- 在 $z=- 1$ 有偶数个零点，或没有
- Ⅱ型 FIR——偶数长，奇数阶，镜像多项式
- 在 $z=+1$ 有偶数个零点，或没有
- 在 $z=-1$ 有奇数个零点
- Ⅲ型 FIR——奇数长，偶数阶，反镜像多项式
- 在 $z=+ 1$ 有奇数个零点
- 在 $z=- 1$ 有奇数个零点
- Ⅳ型 FIR——偶数长，奇数阶，反镜像多项式
- 在 $z=+ 1$ 有奇数个零点
- 在 $z=- 1$ 有偶数个零点，或没有
那么，知道了零点对我们的设计有什么用呢？因为 $z=1$ 的零点对应低频 $\omega=0$，$z=-1$ 的零点对应高频 $\omega=\infty$。所以凡是在这些地方有零点的，这部分频率就是阻带。所以，四种 FIR 中不能设计某些滤波器：
- Ⅰ型 FIR：任何滤波器
- Ⅱ型 FIR：不能设计高通
- Ⅲ型 FIR：不能设计低通、高通、带阻
- Ⅳ型 FIR：不能设计低通
设计 FIR 滤波器
窗函数法
窗函数法就是利用一个窗函数+时移，将无穷、非因果的理想滤波器转换为物理可实现的滤波器。加窗的过程如下图所示：
常见的窗函数的特性见下表：
| 窗类型 | 主瓣宽度 | 过渡带宽度 | 相对旁瓣水平 | 最小阻带衰减 |
|---|---|---|---|---|
| 矩形窗 | 4π/(2M+1) | 0.92π/M | -13.3dB | -20.9dB |
| 汉宁窗 | 8π/(2M+1) | 3.11π/M | -31.5dB | -43.9dB |
| 汉明窗 | 8π/(2M+1) | 3.32π/M | -42.7dB | -54.5dB |
| 布莱克曼窗 | 12π/(2M+1) | 5.56π/M | -58.1dB | -75.3dB |
等波纹滤波器法
等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，即最大误差最小化准则，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差（即波纹的峰值）最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。用等波纹最佳逼近法设计的FIR数字滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度，这就是等波纹的含义。最佳逼近是指在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。与窗函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法使滤波器的最大逼近误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。
等波纹最佳逼近法的设计思想:用 $H_d(\omega)$ 表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位FIR数字滤波器时,$H_d(\omega)$ 必须满足线性相位约束条件。用 $H(\omega)$ 表示实际设计的滤波器的幅度特性函数。定义加权误差函数$\varepsilon(\omega)$为：
\[\varepsilon(\omega)=W(\omega)[H_d(\omega)-H(\omega)]\]式中，$W(\omega)$ 为幅度误差加权函数，用来控制不同频带（一般指通带和阻带）的幅度逼近精度。等波纹最佳逼近法的设计在于找到滤波器的系数向量 $h[n]$，使得在通带和阻带内的最大绝对值幅度误差 $\vert \varepsilon(\omega)\vert$为最小，这也就是最大误差最小化问题。
习题
10.17(a) 设计低通 FIR 滤波器，指标为 $\omega_p=0.42\pi$，$\omega_s=0.58\pi$，$\delta_p=0.002$，$\delta_s=0.008$，要求长度尽可能小。
解：
$$
\Delta \omega = \omega_s-\omega_p = 0.16\pi\\
\alpha_s = -20 \lg \delta_s=41.93 \text{dB}
$$
选择汉宁窗，$M=\dfrac{3.11\pi}{0.16 \pi} \approx 20$
10.18 设计带通 FIR 滤波器，指标为：
$$
\omega_{p1} = 0.4 \pi \quad \omega_{p2}=0.55\pi\\
\omega_{s1}=0.25\pi \quad \omega_{s1}=0.75\pi\\
\delta_p = 0.022\\
\delta_{s1}=0.006 \quad \delta_{s2}=0.008
$$
解：总之就是取更苛刻的指标来设计窗，具体原理不太理解。
$$
\Delta \omega_1 = \omega_{p1} - \omega_{s1}=0.15\pi\\
\Delta \omega_2 = \omega_{p2} - \omega_{s2}=0.2\pi\,\;\\
\alpha_{s1}=-20 \lg \delta_{s1}=44.43\text{dB}\\
\alpha_{s2}=-20 \lg \delta_{s2}=41.93\text{dB}
$$
以 $\Delta \omega_1$ 和 $\alpha_{s1}$ 作为指标，则选取 Hann 窗，$M=\frac{3.11\pi}{0.15 \pi}\approx 21$
以下是我上学期与下学期写的一些笔记，请老师斧正。