时域中的离散时间信号

离散时间信号

时域描述

虽然在信号与系统中已经学过离散时间信号,但我们依然要说一下。

模拟信号(Analog Signal)表示为 $x_a(t)$,其中 $t$ 为连续量;数字信号 $x[n]$ 可以看做对模拟信号的采样,其中 $n$ 为离散量。所以我们将数字信号用序列表示,称作 样本,即:

箭头 $\uparrow$ 指示 $t=0$ 时刻的样本值。


下面说几个概念:

序列可以分解为 实序列虚序列:$x[n]=x_\text{re}[n]+jx_\text{im}[n]$

序列的长度可以为有限长或无限长。对于有限长序列,其 长度时宽 $N=N_右-N_左+1$。我们可以通过 补零 的方法将有限长序列变为无限长序列。

如果序列在 $n \leq N_1$ 时为 0,则为 右边序列,若 $N_1\geq 0$ 则称为 因果序列。反之在 $n \geq N_2$ 时为 0,则为 左边序列,若 $N_2\leq 0$ 则称为 反因果序列。关于这个我们会在后面进一步讨论。

有时候时域分析不方便,我们会对时域样本进行变换。假设 $\bd{x}$ 是序列在时域对应的向量,$\bd{X}$ 则是序列在变换域对应的向量,定义可逆矩阵 $\bd{D}$,满足:

信号的强度

之前学过信号的能量和功率,这里要讲得“强度”类似。我们一般用 $\L_p$ 范数 来衡量:

$p$ 常取 $1,2,\infty$。范数有一些性质,比如:$|x|_2 \leq |x|_1$,证明过程如下:

另一个常用的性质是:$\|x \|\infty = \vert x\vert\text{max}$(容易通过极限来证明)

范数在其他定义中也有用到,比如:

  • 均方根值(rms):$\text{rms}=\dfrac{\|x\|_2}{\sqrt{N}}$
  • 均方误差(MSE):$\text{MSE}=\frac{1}{N} (\|y[n] - x[n] \|_2)^2$
  • 相对误差:$\text{E}_\text{rel} = \dfrac{\| y[n]-x[n]\|_2}{\|x[n]\|_2}$
norm(x,1) %L1范数
norm(x,2) %L2范数
norm(x,inf) %L_infinity范数

基本序列

下面列出了一些基本序列,和对应的matlab代码。下面所有的 $n$ 的取值范围都是 $(-\infty,+\infty)$,以后凡是未标范围的都默认是 $(-\infty,+\infty)$。

单位样本序列 Unit Sample Sequence

function [x,n] = impseq(n0,n1,n2)
% Generates x[n] = delta(n-n0); n1<=n<=n2

    n = [n1:n2];
    x = [(n-n0) == 0];

end

单位阶跃序列 Unit Step Sequence

function [x,n] = stepseq(n0,n1,n2)
% Generates x[n] = u(n-n0); n1<=n<=n2

    n = [n1:n2];
    x = [(n-n0)>=0];

end

指数序列 Exponential Sequence

实指数的形式比较简单:$x[n]=A a^n,\;\; A,a\in \mathbb{R}$;将 $A,a$ 的定义域换成复数域就得到复指数:

有的人喜欢将虚部和实部分开:

这样可以很清晰的看出,实部和虚部都是衰减/增长的三角序列。至于什么时候增长,什么时候衰减,以及周期问题,请去复习 SCUTEEE-信号与系统-信号

function [x,n] = expseq(A,a,n1,n2)
% Generates x[n] = A*exp(a*n); n1<=n<=n2

    n = [n1:n2];
    x = A*exp(a*n);

end

正弦序列 Sinusoidal Sequence

说是正弦序列,但其实我们用余弦函数来表示:

$A$,$\omega_0$,$\phi$ 分别称为 振幅归一化角频率相位(准确来讲是初相位)

正弦序列可以分解为 同相分量(in-phase)正交分量(quadrature)

在通信原理中可能会接触一个 IQ调制,其中 I 和 Q 就是指同相与正交。想了解更多,可以去看 详解IQ调制

>> n = [0:10];
>> x = 3*cos(2*pi*n+pi/3)

关于正弦序列的周期问题,我们在 SCUTEEE-信号与系统-信号 已经讨论过,在此仅列举结论:

  1. 若 $\omega_0 N = 2\pi r$($N,r$ 为正整数),则为周期的。$N$ 的最小取值为基本周期
  2. 在 $[0,\pi]$ 内,振荡频率随 $\omega_0$ 增加而增加,在 $[\pi,\pi]$ 内,振荡频率随 $\omega_0$ 增加而减小。$\pi$ 称为 折叠频率

矩形窗序列 Rectangular Window

function [x,n] = recwindow(n1,n2,n3,n4)
% Generates rectangular window

    n = [n3:n4];
    x = [n>=n1|n<=n2];

end

序列的运算

简单运算

运算 器件 表达式
乘积 multiplication 调制器 $y[n]=x_1[n]\cdot x_2[n]$
标量积 scaling 乘法器 $y[n]=A x_[n]$
相加 addition 加法器 $y[n]=x_1[n]+ x_2[n]$
延迟/超前 shifting 延时器 $y[n]=x[n-N]$($N<0$ 为延迟,$N>0$ 为超前)
反转(折叠)folding   $y[n]=x[-n]$

序列的基本运算

在实现这几个运算时,要考虑序列不等长,以及序列范围不一致的情况。Matlab 代码如下:

function [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
% implements y(n) = x1(n) + x2(n)
% y = sum sequence over n, which includes n1 and n2
% x1 = first sequence over n1
% x2 = second sequence over n2
% 加法器

    n = min(min(n1)min(n2)):max(max(n1),max(n2));
    y1 = zeros(1,length(n));
    y2 = y1;
    y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;
    y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;
    y = y1+y2;

end
function [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2)
% implements y(n) = x1(n)*x2(n)
% y = product sequence over n, which includes n1 and n2
% x1 = first sequence over n1
% x2 = second sequence over n2
% 乘法器

    n = min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));
    y1 = zeros(1,length(n));
    y2 = y1;
    y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;
    y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))=x2))=x2;
    y = y1.*y2

end
function [y,n] = sigshift(x,m,k)
% implement y(n) = x(n-k)
% 延时器

    n = m+k;
    y = x;

end
function [y,n] = sigfold(x,n)
% implements y(n) = x(-n)
% 反转

    y = fliplr(x);
    n = -fliplr(n);

end

卷积和 Convolution

卷积和的相关性质请参考:卷积和与卷积积分 - SCUTEEE

function [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
%Modified convolution routine for signal processing
%  [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
%  [y,ny] = convolution result
%  [x,nx] = first signal
%  [h,nh] = second signal

    nyb = nx(1)+nh(1);
    nye = nx(length(x)) + nh(length(h));
    ny = [nyb:nye];
    y = conv(x,h);

end

抽样率转换

抽样率转换实际上就是内插 or 再抽取。假如 $x[n]$ 是抽样率为 $F_T$(Hz)的序列,现在将其转化为抽样率为 $F’_T$(Hz)的序列 $y[n]$,其比值 $R = \dfrac{F’_T}{F_T}$ 定义为 抽样转换比

  • 若 $R>1$,说明抽样率提高,该转化系统为 内插器
  • 若 $R<1$,说明抽样率降低,该转化系统为 抽取器

要实现抽样率转换,最简单的就是进行 上抽样(up-sampling)下抽样(down-sampling) 运算。这两个运算方法很简单:上抽样就是在两个样本之间补零,下抽样就是去掉某些样本。具体如下:

经过上述两个变换后,抽样率变为了 $L$ 倍或 $1/M$ 倍。所以上抽样器也称为 抽样率扩展器,下抽样器也称为 抽样率压缩器

有限长序列的反转与平移

有时候,我们希望有限长序列在做完运算后,定义域不改变。所以我们规定限长序列的反转与平移运算如下:假如定义域为 $0,1,\cdots,N-1$,则:

  • 反转:$y[n]=x[(-n)\mod N]$ 写作 $x[\langle -n \rangle_N ]$ 1
  • 平移:$y[n]=x[(n-n_0) \mod N]$ 写作 $x[\langle n-n_0 \rangle_N ]$

如果我们将样本放在一个圆周上,那么平移就相当于转动这个圆周,而反转则相当于对这个圆周以 $x[0]$ 对应的直径进行镜像。因此,这两个运算又称作 圆周时间反转(circular shift)圆周平移(circular time-reversal)

扩展:圆周卷积 circular convolution

序列的分类

因为懒得打字,所以就抄了别人的博文

  • 基于对称性

    若满足 $x[n] = x^*[-n]$ ,称为 共轭对称序列

    若满足 $x[n] = - x^*[-n]$ ,称为 共轭反对称序列

    • 实共轭对称序列称为偶序列
    • 实共轭反对称序列称为奇序列
    • 任何复序列都能表示成共轭对称部分 $x_\text{cs}[n]$ 与共轭反对称部分 $x_\text{ca}[n]$ 之和,其中:
  • 周期信号非周期信号。周期信号用 $\tilde{x}[n]$ 表示
  • 能量信号功率信号
  • 其他序列 有界序列、绝对可和序列、平方可和序列、n点序列等,都是有某些特征的序列。

信号的相关

自相关与互相关

为了比较两个信号的相似程度,我们可以将两个信号相减:

如果越相似,那么差值就越小。注意到式中,$x^2[n]$ 与 $y^2[n-\ell]$ 都是正值,要让差值越小,那么只能让 $x[n]y[n-\ell]$ 越大。于是我们定义 相关 如下:

其中,$\ell$ 称为 时滞。自相关和互相关的最大值所对应的 $\ell$ 就是信号最相似的部分。显然,自相关应该在 $\ell=0$ 处取最大值,证明如下:

书上有个更为巧妙,适用范围更广的证法:

这个证明给出了 $r_{xy}[\ell]$ 的上下界,并且在 $y[n]=x[n]$ 时,就得到我们上面自相关的结论。

相关的归一化形式

由于相关不仅会受到相似程度的影响,也会受信号本身的能量影响,因此我们需要对相关进行归一化,即让相关函数的值落在 $[-1,1]$ 之间。注意到 $r_{xy}[\ell]$ 的上下界是 $\sqrt{r_{xx}[0]r_{yy}[0]}$,将自相关和互相关除以这个值就能得到它们的归一化形式

经过归一化后,$\vert \rho_{xx}[\ell] \vert\leq 1$,$\vert \rho_{xy}[\ell] \vert\leq 1$,与信号本身的大小无关。

本章练习题

2.24(a) 证明:当定义域为 $[0,+\infty)$ 时,因果实序列 $x[n]$ 可以从其偶部 $x_\text{ev}[n]$ 中完全恢复出来;而当定义域为 $(0,+\infty)$ 时,因果实序列 $x[n]$ 可以从其奇部 $x_\text{od}[n]$ 中完全恢复出来。

证:$x[n]$ 的偶部和奇部可以表示为:
$$ x_\text{ev}[n] = \frac{x[n]+x[-n]}{2}\\ x_\text{od}[n] = \frac{x[n]-x[-n]}{2} $$ 由前提条件,在 $(-\infty,0)$ 上 $x[n]=0$,所以有:
$$ x_\text{ev}[n] = \frac{x[n]}{2},\; n>0\\ x_\text{od}[n] = \frac{x[n]}{2},\; n>0\\ \therefore x[n]=2x_\text{ev}[n]=2x_\text{od}[n],\; n>0 $$ 再考虑 $x=0$ 处,显然 $x[0]=x[-0]$,所以有:
$$ x_\text{ev}[0] = x[0]\\ x_\text{od}[0] = 0\quad\\ $$ 综上,可以从偶部得到因果序列在 $n\geq 0$ 处的值,可以从虚部得到因果序列在 $n >0$ 处的值。证毕。
另外,在推导过程中并未考虑序列的实部与虚部,说明该结论对复序列一样成立。


2.24(b) 证明:因果复序列 $y[n]$ 可以从其共轭对称部分 $y_\text{cs}[n]$ 中完全恢复出来;$y[n]$ 可以从其共轭反对称部分 $y_\text{ca}[n]$ 中完全恢复出来。

证:共轭对称部分与共轭反对称部分可以表示为:
$$ \begin{align} y_\text{cs}[n] &= \frac{1}{2}(y[n]+y^*[-n])\\ &=\frac{y_\text{re}[n]+y_\text{re}[-n]}{2}+j \frac{y_\text{im}[n]-y_\text{im}[-n]}{2}\\ &=y_\text{re,ev}[n]+y_\text{im,od}[n]\\ y_\text{ca}[n] &= \frac{1}{2}(y[n]-y^*[-n])\\ &=\frac{y_\text{re}[n]-y_\text{re}[-n]}{2}+j \frac{y_\text{im}[n]+y_\text{im}[-n]}{2}\\ &=y_\text{re,od}[n]+y_\text{im,ev}[n] \end{align} $$ 根据上一题 2.24(a) 的结论:可以从偶部得到因果信号在 $n\geq 0$ 处的值,可以从虚部得到因果信号在 $n >0$ 处的值。我们可以推导出如下结论:

  (1) 可以从 $y_\text{cs}[n]$ 得到 $y_\text{re}[n]$ 在 $n\geq 0$ 处的值,以及 $y_\text{im}[n]$ 在 $n>0$ 处的值。
  (2) 可以从 $y_\text{ca}[n]$ 得到 $y_\text{re}[n]$ 在 $n>0$ 处的值,以及 $y_\text{im}[n]$ 在 $n\geq 0$ 处的值。

因此,当所有 $n>0$ 时,因果复序列 $y[n]$ 可以从其共轭对称部分 $y_\text{cs}[n]$ 中完全恢复出来,也可以从其共轭反对称部分 $y_\text{ca}[n]$ 中完全恢复出来。证毕。


2.39(d)(e) 求以下信号的基本周期:
$$ \begin{align} \text{(d)}\;\tilde{x}[n]&=6\sin(0.15\pi n)-\cos(0.12\pi n+0.1\pi)\\ \text{(e)}\;\tilde{x}[n]&=\sin(0.1\pi n + 0.75\pi)-3\cos(0.8\pi n+0.2\pi)+\cos(1.3\pi n) \end{align} $$

解:求出各部分的基本周期,再求最小公倍数。
对于 $\text{(d)}$,其各部分的基本周期分别为:$T_1=\frac{2\pi}{0.15\pi}\times3=40$,$T_2=\frac{2\pi}{0.12\pi}\times 3=50$,则 $T=\frac{40\times50}{\text{GCD}(40,50)}=200$
对于 $\text{(d)}$,其各部分的基本周期分别为:$T_1=\frac{2\pi}{0.1\pi}=20$,$T_2=\frac{2\pi}{0.8\pi}\times 2=5$,$T_3=\frac{2\pi}{1.3\pi}\times 13=20$,则 $T=20$


2.44 用单位阶跃序列 $\mu[n]$ 表示 $x[n]=\{2.1,\belowarrow{-3.3},-1.7,5.2\}$

解:仿照杜阿美积分,我们可以写出: $$ \begin{align} x[n]=&\mu[n+1](x[-1]-0)\\ &+\mu[n+0](x[0]-x[-1])\\ &+\mu[n-1](x[1]-x[0])\\ &+\mu[n-2](x[2]-x[1])\\ &+\mu[n-3](0-x[2])\\ =&2.1\mu[n+1]-5.4\mu[n+0]+1.6\mu[n-1]\\ &+6.9\mu[n-2]-5.2\mu[n-3] \end{align} $$


2.51 连续时间信号 $x_a(t)=\cos \Omega_o t$ 在 $t=nT$ 抽样,$-\infty\lt n\lt +\infty$,生成离散时间序列 $x[n]=x_a(nT)=\cos (\Omega_o nT)$。当 $T$ 取咩值时 $x[n]$ 是一个周期序列?若 $\Omega_o=30\text{rad}$ 且 $T=\pi/6\text{s}$,$x[n]$ 的基本周期是多少?

解:若 $x[n]$ 是一个周期序列,则要满足 $\dfrac{2\pi}{\Omega_o T}=\dfrac{N}{r}$,$N,r\in \mathbb{N}$,即 $T=k\dfrac{2\pi}{\Omega_o}且 T\neq 0$,$k\in\mathbb{R}$

若 $\Omega_o=30\text{rad}$ 且 $T=\pi/6\text{s}$,则 $x[n]=\cos(5 \pi n)$,基本周期 $T=\dfrac{2\pi}{5\pi}\times 5=2$

  1. 我们用 $\langle n \rangle_N$ 表示 $n \mod N$ ,某些教材(比如 Oppenheim 的教材)也将取模运算写作:$((n))_N$