有效质量
电子本质上是波，但用波计算会非常麻烦，为了能用粒子来计算，我们下面引入有效质量。
半导体中的 $E-k$ 关系（色散关系）
半导体中主要是能带底或顶的电子起作用，所以我们主要研究这些能带极值附近的 $E-k$关系（也叫色散关系）。以一维为例，我们令 $\dif E/\dif k\vert_{k=0}=0$，在 $E(k=0)$ 处泰勒展开 $E(k)$
\[E(k) =E(0) + \frac{\dif E}{\dif k}\Big\vert_{k=0} \cdot k + \frac{1}{2} \frac{\dif^2 E}{\dif k^2}\Big\vert_{k=0} \cdot k^2 \cdots\]
极值附近的一阶导数为0，所以我们有：
\[E(k) - E(0) = \frac{1}{2}\frac{\dif^2 E}{\dif k^2}\Big\vert_{k=0}\cdot k^2\]我们人为地将右边部分写成动能的表达式：
\[E(k) = E(0) + \frac{\hbar^2k^2}{2m_n^*}\]其中，$m_n^*$ 定义为 $(\dfrac{1}{\hbar^2}\dfrac{\dif^2 E}{\dif k^2}\Big\vert_{k=0} )^{-1}$，称为能带底电子有效质量，它的单位即质量单位，右下角的$ n$ 是指不同的 $E_n-k$ 关系。由于这是二次导数，$m_n^*$ 越小，导带的曲率越小，能带越窄；同时，有效质量是有正负的向下凹的能带底的 $m_n^*>0$，而向上凸的价带顶的 $m_n^*<0$.
平均速度（群速度）
群速度描述电子在周期性势场中的运动，具体来讲是指介质中能量的传播速度。之前，我们学布洛赫定理时知道，电子的运动可以看作行波的叠加，叠加后的波包的群速就是电子的平均速度。一个波包由一个特定波矢 $k$ 附近的诸波函数组成，则波包群速 $V_g$ 为：
\[\begin{cases} v_g=\frac{\dif \omega}{\dif k}\\ E=\hbar\omega \end{cases} \rightarrow v_g=\frac{1}{\hbar} \frac{\dif E}{\dif k} \rightarrow v_g=\frac{\hbar k}{m_n^*}\]所以群速度等于动量除以有效质量，而因为有效质量有正负，所以群速度也有正负。
加速度
当半导体加上外加电场时，要考虑电子在周期性势场和电场中的运动规律。我们考虑 $\dif t$ 时间内外电场 $\vert E\vert$ 对电子的做功过程：
\[已知: \begin{cases} \dif E=F\dif s=Fv_g\dif t\\ F=-q|\vec{E}|=\hbar \frac{\dif k}{\dif t}\\ v_g=\frac{1}{\hbar} \frac{\dif E}{\dif k} \end{cases}\\ \Rightarrow a = \frac{\dif v_g}{\dif t}=\frac{F}{\hbar}\frac{\dif^2 E}{\dif k^2}\]注意到，$m_n^*$ 定义为 $(\dfrac{1}{\hbar^2}\dfrac{\dif^2 E}{\dif k^2}\Big\vert_{k=0} )^{-1}$，则我们有：
\[a=\frac{F}{m_n^*}\]恰好符合牛顿第二定律的描述。
有效质量的意义
我们可以从速度和加速度的公式中可以看出，引入有效质量后，在计算求解半导体电子在外力作用下的运动规律是，可以不涉及到半导体内部周期性势场的作用。
\[v_g=\frac{1}{\hbar}\frac{\dif E}{\dif k}\\ m_n^*=(\dfrac{1}{\hbar^2}\dfrac{\dif^2 E}{\dif k^2}\Big\vert_{k=0} )^{-1}\]注意由于有效质量是泰勒展开而来，所以只在极值附近有意义。而速度没有依赖泰勒展开，所以在所有地方都有意义。
空穴
绝对零度时，高纯半导体为满价带，此时加上外电场 $F=-q\vert \vec{E}\vert =\hbar \frac{\dif k}{\dif t}$，则 $\frac{\dif k}{\dif t}=\frac{-q\vert \vec{E}\vert }{\hbar}$，说明电子的波矢以相同的速率向左运动，导致群速度为0（对称性）。若有一个电子为空，则群速度不为0，表现出电流，我们设此时电流密度为 $J$：
\[J+(-q)v_g(k)=0\Rightarrow J=(+q)v_g(k)\]$J$ 等效为一个带正电的粒子，我们称为 空穴. 其有效质量与电子相反
当温度升高时，电子热激发到导带，同时，价带中产生空穴，两种载流子都可以导电。
