倒易点阵与布里渊区

倒易点阵 reciprocal lattice

晶体性质的周期性我们可以表示为 $\vec{T} = u \vec{a} + v \vec{b} + w \vec{c}$,这深层次上有如下含义:

  1. 在平移操作 $\vec{T}$ 下,晶体的任何物理性质都不变
  2. 电荷浓度、电子数密度、质量密度、磁矩密度在 T 作用下不变
  3. 电子数密度 $n(r)$ 是 $r$ 的周期函数,存在 $n(\vec{r} + \vec{T}) = n(\vec{r})$

既然这是一个周期函数,就可以用 傅里叶分析。以周期为 $a$ 的一维周期函数 $n(x)$ 为例,将 $n(x)$ 展开为傅里叶级数:

其中,$p$ 为正整数;$C_p, S_p$ 为实常数,称为展开式的傅里叶系数。辐角中的 $2\pi /a$ 保证 n(x) 具有周期 a

$2\pi p/a$ 称为晶体的倒易点阵中或傅里叶空间的一个点。$a$ 的量纲为长度,所以 $2\pi p/a$ 的量纲是长度的倒数。这就是 “倒易” 的来源。

我们可以用虚数改写傅里叶级数:

其中 $p$ 是全体整数,$n_p$是复数,并且要满足 $\bar{n}_{-p}=n_p$. $2\pi p/a$ 是晶体的倒易点阵中的阵点(p 可正可负),全体点 $\cdots, -4\pi/a, -2\pi/a, 0,$ $2\pi/a, 4\pi/a, \cdots$ 构成了倒易点阵

我们直接将 一维扩展到三维:

那么 $\vec{G}$ 应该怎么取才满足周期性$n(\vec{r} + \vec{T}) = n(\vec{r})$?这里我们直接给出由 初基 推出倒易点阵的初基矢量

由上面三条方程,我们有以下注释:

  1. $\vec{A},\vec{B},\vec{C}$ 每个矢量于晶体点阵的两个轴矢量正交
  2. 对于给定晶体点阵的一组任一设定的初基矢量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 都能导出一组倒易点阵
  3. 每个晶体结构都有两套点阵与之联系,一是晶体点阵,一是倒易点阵
  4. 倒易点阵的用处:晶体的衍射图样是晶体的倒易点阵的映像。

我们来验算一下,这样得出的 $\vec{G}$ 是否满足 $n(\vec{r} + \vec{T}) = n(\vec{r})$:

显然是满足的。

布里渊区 Brillouin zone

布里渊区
布里渊区定义为倒易点阵中的维格纳-赛茨晶胞1
布里渊区的边界$\vec{k}$ 在中垂线上,故满足:$2\vec{k} \cdot \vec{G} = G^2$. 在实验中,这个 $\vec{k}$ 就是 X 射线入射波的波矢量,衍射点就是边界,通过旋转 X 射线可以得到布里渊区,得到布里渊区就能得到倒易点阵,进一步计算就得到晶体结构。

布里渊区有如下特点:

  1. 布里渊区分为第一布里渊区,第二布里渊区,……下图中每种颜色标记一个布里渊区;
  2. 每个布里渊区的体积都是相同的,都等于倒易点阵的初基晶胞的体积;
  3. 每个布里渊区只包含一个倒阵点阵点

我们一般只考虑第一布里渊区。

布里渊区实例

简单立方

  1. 其倒易点阵仍是简单立方,点阵常数为 $2\pi/a$;
  2. 第一布里渊区是以原点为体心,边长 $2\pi/a$ 的立方体

(比较简单,就不放图了)

体心立方

  1. 倒易点阵为面心立方
  2. 第一布里渊区是正菱形十二面体(周围有 12 个点,有 12 个中垂面)

面心立方

  1. 倒易点阵为体心立方(对比下面的式子和上图中的式子)
  2. 第一布里渊区是截角八面体(体心立方 8 个顶点 8 个面,面心截去 8 个角)
  1. 维格纳-赛茨晶胞:各点连线的中垂线所围成的最小面积。具体可看上一节内容。