正交变换

正交变换

唠唠叨叨写了一大堆,然后发现要补一堆数学知识 🤬

  在介绍 DFT 之前,先来从数学角度对这类变换做一个概述,请切换到线性代数的思维。我们已经学过时域中的信号,以及频域中的信号。说是域,但和数学中的“域”还真不是一回事(我在这里懵了好久),更像是数学中的空间。我们可以将信号看作这些空间中的一个向量,而变换的本质就是空间的转换。这类空间称为 Hilbert 空间 1,简单来说就是欧氏空间的高维推广。

  在 Hilbert 空间中,信号 $\varphi_1,\cdots,\varphi_N$ 线性独立(不相关),则可成为一个 。我们可以将空间中的任意信号分解成基的组合:

  要求解分解系数 $\alpha$,我们可以构造另一组向量,$\hat{\varphi_1},\cdots,\hat{\varphi_N}$,满足 双正交关系

  然后与 $\bd{x}$ 做内积:

  这样就能求得 $\alpha$。我们将 $\hat{\varphi_1},\cdots,\hat{\varphi_N}$ 称作 $\varphi_1,\cdots,\varphi_N$ 的 对偶基

  若 $\varphi_1,\cdots,\varphi_N$ 线性独立,且两两正交,则称为 正交基。我们可以证明其对偶基就是自己本身,证明如下:

  设 $X,Y$ 是两个 Hilbert 空间,$\bd{x},\bd{y}$ 分别是其中的信号,存在算子 $\bd{A}$,满足:

  则称 $\bd{A}$ 为一个 变换。若 $\bd{A}$ 是线性的,则称为线性变换。若 $\langle\bd{Ax},\bd{Ax}\rangle =\langle\bd{x},\bd{x}\rangle =\langle\bd{y},\bd{y}\rangle $,则称为 正交变换,此时 $\bd{A}$ 是一个正交矩阵(满足 $\bd{A}^T=\bd{A}^{-1}$)。

  正交变换的性质如下:

  • 正交变换的基向量是其对偶基向量(说人话就是:把正交变换的列向量看做一组基,那么这是组正交基)
    • 正交变换的反变换存在且唯一,就是正交变换的转置,即:$\bd{A}^{-1}=\bd{A}^T$
  • 正交变换前后信号能量不变(Parseval 定理)
  • 信号正交分解具有最小平方近似性质(信号的相似?)

正交变换的实例

  • 正弦类
    • FS,FT,DTFT,DFS,DFT
    • DCT,DST,DHT
  • 非正弦类
    • Walsh-Hadamard,Haar 变换
    • SLT(斜变换)

这些变换十分复杂,我们会在后续文章中讲解到。

参考