集合及其运算

集合的定义 具有某种共同属性的事物的全体称为 集合，这些事物称为 元素。

集合的表示方法 有两种：列举法和特征表示法。

集合之间的关系 有：

1. 包含（子集）：若 $\forall a \in A, a \in B$，则 $A \subset B$
2. 相等：若 $A \subset B$ 且 $B \subset A$，则 $A=B$
3. 真子集：若 $A \subset B$ 且 $A \neq B$，则 $A$ 是 $B$ 的一个真子集

集合的分类 有：

• $\mathbb{N}$ 自然数集，$\mathbb{Z}$ 整数集，$\mathbb{R}$ 实数集
• $\varnothing$ 空集：不含任何元素
• 单元素集合：只含一个元素，即子集只有自身和 $\varnothing$
• 有限集/无限集：元素有限/无限

集合的运算 有：

• 并：$A \cup B = \{ x \vert x\in A 或 x \in B \}$
• 交：$A \cap B = \{ x \vert x\in A 且 x \in B \}$
• 差：$A-B=\{ x \vert x \in A 但 x \notin B \}$
• 补：$\complement_c A = X-A$（$X$ 是基本集）

集合的运算律 有：

1. 交换律：$A \cup B = B \cup A$，$A \cap B = B \cap A$
2. 结合律：$A \cup(B\cup C)=(A \cup B)\cup C$，$A \cap (B \cap C)= (A \cap B) \cap C$
3. 分配律：$A \cup (B \cap C) = (A \cup B)\cap (A \cup C)$，$A \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup (A \cap C)$
4. 幂等律：$A \cup A=A$，$A \cap A = A$
5. 吸收律：$A \cup \varnothing = A$，$A \cap \varnothing = \varnothing$

集合的笛卡尔积：$A \times B = \{(x,y) \vert x \in A, y \in B\}$，其中，$(x,y)$ 为有序对。

对于 $n$ 个集合 $A_1,A_2,\cdots,A_n$，其笛卡尔乘积 $A_1\times\cdots\times A_n$ 是所有 $n$ 元有序组 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 构成的集合，其中，$a_i \in A_i\quad(i=1,2,\cdots,n)$

对于实数集 $R$，其本身表示数轴上的点，其笛卡尔积 $R\times R$ 就是实平面 $R^2$，即 $R^2=R\times R=\{(x,y) \vert x,y \in R\}$