\[\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial}\]

基本概念

n维欧式空间 $\mathbb{R}^n$

定义 我们有元素（n 元有序组）：$x = (x_1, x_2, \cdots, x_n), x_i \in \mathbb{R}$，则由这些元素所组成的集合称为 n 维实空间：$\mathbb{R}^n = \{ (x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_i \in \mathbb{R} \}$$=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}$

可以定义：

1. $x = y$：$x_i = y_i$
2. $x+y$： $(x_i + y_i)$
3. $\lambda x$：$(\lambda x_i)$
4. $x-y$：$x+(-1)y$
5. $0 = (0, 0, \cdots, 0)$
6. 内积 $<x, y> = \sum_{i=1}^n x_iy_i$（满足该定义称为：欧氏空间）
7. 范数 $| x-y | = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$

注释

1. $\mathbb{R}^n$ 对加法、数乘封闭，满足加法交换、结合律，数乘分配律，故 $\mathbb{R}^n$ 为线性空间；
2. 引入内积，满足：
   1. $<x,y>=<y,x>$
   2. $<x+y,z>=<x,z>+<y,z>$
   3. $<\lambda x,y>=<x,z>+<y,z>$
   4. $<x,x>\geq 0$，且 $<x,x>=0 \Leftrightarrow x=0$

   $\mathbb{R}^n$ 为内积空间

3. 引入范数，满足：
   1. $|x| \geq 0$ 且 $|x|=0 \Leftrightarrow 0$
   2. $|\lambda x| = \lambda|x|$
   3. $|x+y| < |x|+|y|$

   $\mathbb{R}^n 为范数空间$

定理 Cauchy-Schwars不等式：$| <x,y> | \leq |x|\cdot|y|$

证明 $\sum_{i=1}^n (\lambda x_i + y_i)^2 \geq 0$，把 $\lambda$ 看作未知量，则判别式 $\Delta \leq 0$，即可证。

此外，我们高中还学过 三角不等式：$|x+y| \leq |x| + |y|$，证明只需把左边平方后放大即可。

定义 邻域：对于 $P_0 = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$，$O(P_0, \delta) = \{ P \,\big|\, |P-P_0| < \delta> \}$ 为 $P_0$ 的邻域.

---

下面介绍点和集合的关系：$x = (x_1, x_2)$，$E \subset \mathbb{R}^2$

点：

1. 内点：存在 $O(x, \delta) \subset E$，所有的 $x$ 称为 $E$ 的内部，记作 $E^o$ 或 $\mathrm{Int} E$
2. 外点：$y \notin E$，存在 $O(y,\delta) \cap E = \varnothing$；或 $y \in \complement_U E$，存在 $O(y, \delta) \subset \complement_C E$
3. 边界点：$\forall O(z, \delta)$，都有 $O(z, \delta) \cap E \neq \varnothing$，$O(z, \delta) \cap \complement_U E \neq \varnothing$. 所有的 $z$ 称为 $E$ 的边界，记作 $\partial E$
4. 聚点：$\forall O(z, \delta)$ 中，都含有 $E$ 中异于 $x$ 的点，即 $O(z, \delta) - {x} \cap E \neq \varnothing$
5. 孤立点：$x \in E$ 但不是聚点

注释 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点

集合：

1. 开集：$E = E^o$
2. 闭集：$\complement_C E$ 为开集，则 $E$ 为闭集
3. 规定：$\mathbb{R}^n, \varnothing$ 又开又闭
4. $E$ 为闭集 $\Leftrightarrow $ 所有聚点$\in E$

闭包 $\bar{E} = E \cup {E \text{的一切聚点}}$ $= E\cup \partial E$. 闭包一定是闭集。

区域：

1. 开区域：$D \in \mathbb{R}^2$，$D$ 中任意两点都可用 $D$ 中一条折线连通
2. 闭区域：$D$ 的闭包，即 $D \cup \partial D$

多元函数的基本概念

定义 二元函数 $A \subset \mathbb{R}^2, B \subset \mathbb{R}$，若 $f: A\rightarrow B$ 则称 $f$ 为二元函数

类似的，我们可以定义 n 元函数：$A \subset \mathbb{R}^n, B \subset \mathbb{R}$，记：$u=f(x_1, x_2, \cdots, x_n),$ $(x_1, x_2, \cdots, x_n)\in A$

多元函数的极限

定义

设 $P_0(x_0, y_0)$ 是定义域 $D$ 中的一个聚点，若 $P\in D$ 以 任何方式 趋于 $P_0$ 时，$f(P)$ 都趋于某一定数 $A$，则称 $A$ 为 $f(x,y)$在 $P_0$ 处的极限。

我们可以用数学描述： \(z=f(x,y), D 为定义域, P_0(x_0,y_0)为聚点, A为某一定值\\ \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \text{st.} 0\leq \| P-P_0 \|< 且 P\in D，有:\\ 则称 A 为 f(x,y) 在 P_0 处的极限，记为:\\ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} =A 或 \lim_{x\rightarrow x_0\\y\rightarrow y_0} f(x,y)=A\)

类似可以写出趋向 $+\infty$ 的定义：

\[\forall\varepsilon>0, \exists M, \text{st.} |x|>M,|y|>M, \\ 有 |f(x,y)-A|<\varepsilon \\ \lim_{x\rightarrow \infty\\y\rightarrow \infty} f(x,y)=A\]

注意

$(x,y)$ 要同时趋向 $(x_0,y_0)$，这种叫重极限。还有一种是先后的 $\lim_{y\rightarrow y_0} \lim_{x\rightarrow x_0} f(x,y)$，叫累次极限。这两种极限是不同的。

多元函数的连续

多元函数的偏导数

定义

$z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$的某个领域内有定义，固定 $y_0$，得到一元函数 $f(x,y_0)$。

若 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$ 存在，则称为 $f(x,y)$ 关于 $x$ 的偏导数。

记作 $\frac{\p f}{\p x}\Big

_{x=x_0,y=y_0}$ 或 $f_x(x_0,y_0)$ 或 $\frac{\p f(x_0, y_0)}{\p x}$

偏导数的几何意义是：$f_x(x_0,y_0)$ 是曲面在 $(x_0,y_0)$ 处在 x轴方向的斜率。

注意{error}

在一元函数中，可导必连续，但在多元函数中，可偏导不一定连续，还要加上偏导邻域存在。比如下面这个证明：

若 $f_x, f_y$ 在某个邻域内有界（即偏导邻域存在），则函数在 $f(x_0,y_0)$ 处连续

证：
$$ \begin{align} &f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)\\ &=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) -f(x_0, y+\Delta y)\\ &\;\;+f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ &=f_x(x_0+\theta_1\Delta x, y_0+\Delta y)\Delta x + f_y(x_0, y_0+\theta_2\Delta y) \Delta y（中值定理）\\ &\;\;\longrightarrow0,(\Delta x,\Delta y)\longrightarrow 0\\ &\therefore 全增量为0 \end{align} $$

全微分

定义

$z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$处某个邻域有定义

若 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$

其中 $A,B$ 只与 $x_0,y_0$ 有关，与 $\Delta x, \Delta y$ 无关，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则我们称 $A\Delta x+B\Delta$ 为 $f(x,y)$ 为 $f(x,y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处的全微分。记作：$\dif z \big

_{x=x_0,y=y_0}$ 或 $d f(x_0,y_0)$

注释

1. 全微分存在 $\Rightarrow$ 连续
2. 可将 $f(x,y)$ 表示成 $f(x,y)=f(x_0,y_0)+a(x-x_0)+B(y-y_0)+o(\rho)$，左边是一个曲面，右边是一个平面，相当于用平面去逼近一个曲面
3. 可微可以推出连续和偏导，但偏导不能推出连续

---

定理可微的必要条件：$f_x,f_y$ 存在且 $A=f_x, B=f_y$

证明

\[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\\ 令 \Delta y=0\\ 则 f_x(x,y)=\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=\frac{A\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x}=A\]

定理可微的充分条件：$z=f(x,y)$，若$f_x’,f_y’$在 $(x_0,y_0)$处连续，则 $f$ 在$(x_0,y_0)$ 可微