这是我复习时写的一份非常完整的复习笔记，本学期佛系补全，要是有哪位小朋友能帮我打字的话就快一点（想peach😅）。应该能在复习周前补完。 未经授权，不允许转载。 图以后再加。
\(\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial\,}\)
一 电路模型和电路定律
概念
理想元件：具有某种确定电磁性质，并由精确数学定义的基本结构。
集总元件：任何时刻，满足下两性质的二端元件：（1） 流入电流等于流出电流；（2） 端子间的电压为单值。
集总参数元件：电、磁物理现象由元件来集总表征，元件外不存在电、磁场。
线性元件：表征元件特性的代数关系为线性关系。
知识点
一、关联参考方向—— $u$、$i$ 参考方向相同
关联时，\(p=ui \begin{cases}>0 & 吸能\\ <0 & 放能\end{cases}\\ u=Ri=\dfrac{i}{G}\)
非关联时，\(p=-ui \begin{cases}>0 & 吸能\\ <0 & 放能\end{cases}\\ u=-Ri=-\dfrac{i}{G}\)
Attention! 全书最大的坑，一定要注意符号
二、受控电源（无源元件）
| 控制量 | 控制 | 受控量→ | 受控XX源 |
|---|---|---|---|
| $ \begin{align*} {\color{red} V} \text{oltage}\\ {\color{red} C} \text{urrent} \end{align*} $ | ${\color{red} C} \text{ontrol}$ | $ \begin{align*} {\color{red} V} \text{oltage}\\ {\color{red} C} \text{urrent} \end{align*} $ | ${\color{red} S}\text{ource}$ |
受控 XX 源中的 “XX”取决于受控量。标红部分的字母合在一起就是缩写。
三、基尔霍夫定律
前提：集总电路
内容：
- 电流定律（KCL）：流出结点的电流等于流入结点的电流，以流出电流为正，则电流代数和 $\sum i=0$
- 电压定律（KVL）：回路中，支路电压的代数和恒为零，以顺时针为正，则电压代数和 $\sum u=0$
二 电阻电路的等效变换
概念
时不变线性电路：由时不变线性无源元件、线性受控源、独立电源组成的电路。
知识点
等效电路：对外等效，即等效后，端口的伏安特性曲线完全相同，对内不等效。
模型
① 电阻串联、并联（略）
② 惠斯通电桥：平衡时，有 $R_1R_4=R_2R_3$（对角电阻相乘相等）
③ $\rm{Y}-\Delta$ 等效：外大内小，$R_Y=\frac{1}{3} R_{\Delta}$
④ 电压源串联：$u_s=\sum u_{si}$；电流源并联：$i_s=\sum i_{si}$ （注意方向）
⑤ 实际电源模型：
\[电压源与电阻串联：\quad\quad\\ u = U_s - R\cdot i\\ \Downarrow\\ i = \frac{U_s}{R} - \frac{u}{R}\] \[电流源与电阻并联：\quad\quad\\ i = I_s - G\cdot u\\ \Downarrow\\ u = \frac{I_s}{G} - \frac{i}{G}\] \[\therefore U_s = R I_s,\; R相同\]Attention! 这部分内容只适用于纯电阻电路，对于含受控源的，只能通过加压求流来求。（不过一般都是设控制量）
技巧 求输入电阻（Attention! 适用于一端口，即输入电流 = 输出电流）
- 法一：加压求流（加流求压）：设输入电压/电流，求出输出电流/电压
- 法二：设“1”法：先设某一元件电流或电压为 1，逆推出端口的电流和电压
三 电阻电路的一般性分析
概念
图论：
- 图
- 结点
- 支路
- 树
- 树支
- 连支
知识点
独立方程组：
- KCL：$(n-1)$，$n$ 为电路的结点数
- KVL：连支数，即 $(b-n+1)$，$b$ 为支路数，$n$ 同上
简单推导：
$b$ 条支路要构建一棵树，除根外，每个结点要用一条支路，故剩下 $b-(n-1)$ 个连支。
方法
① 最笨的方法：列 $n-1$ 个 KCL，$b-n+1$ 个 KVL，$b$ 个 VCR，共 $2b$ 个方程，解出 $b$ 个 $i$，$b$ 个 $u$
② 支路电流法：将 KVL 用电流未知量表示出来，再加上 KCL，共 $b$ 个方程，解出 $b$ 个 $i$。类比可得 支路电压法。
注：
1. 做题时先指明电流/电压的方向。
2. 有电流源：减少一个电流未知量，增加一个电压未知量。列 KVL 时，尽量让电流元在连支（避开电流源）。
3. 有受控源：增加一个控制量与未知量的方程。
③ 回路电流法：（本质为 KVL，共 $b-n+1$ 个方程）
- 选取 $b-n+1$ 个回路（一般选择网孔）
- 列回路电流及回路方向
- 列 KVL，其中，每个支路上的电压 = （支路上的所有电流的代数和）×电阻
注：
1. 若回路选取网孔，则为网孔电流法
2. 若所有回路的方向都相同，则方程可整理为下列形式（注意电压源的正方向与回路方向相反）：
$$
\begin{aligned}
i \cdot \sum R - R_1 i_1 - R_2 i_2 -\cdots &= U_s\\
(回路上的电阻和)\times 回路电流 - 互阻 \times 对应电流 &= 电压源
\end{aligned}
$$
3. 受控源、无伴电流源的处理方法同上。
④ 结点电压法：（本质为 KCL，共 $n-1$ 个方程）
- 选取参考结点（0 电位参考点）
- 设结点电压（设为正，高于 0 电位）
-
以流出为正，流入为负，列各结点的 KCL。 其中，某一支路电流 = (该结点电压 - 另一端点的电压)×电导。 因此，方程形式为：
\[\begin{aligned} G u - G_1 u_1 - G_2 u_2 - \cdots &= G U_s + I_s\\ 自电导\times 该结点电压 - 互电导 \times 对应结点电压 &= 电导 \times 电压源 + 电流源 \end{aligned}\]
注：
① 无伴电压源的处理方法类比于上面的电流源
② 参考电压的选取：
a. 优先选电压源的负端
b. 选支路多的结点
③ 注意电导！！且当支路上有电流源时，该支路上的电阻忽略
$$
G = \frac{1}{\sum R} \neq \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
$$
关于上述方法的选择：
1. 完全不用考虑 ① ②
2. ③ ④ 哪个方程少用哪个
四 电路定理
知识点
一、叠加定理
前提：电路具有线性性质 $\begin{cases}可加性\齐次性\时延性\end{cases}$
结论：原电路的响应为相应分电路中分响应的 代数和
Attention!
- 电源置零 → 电压源短路，电流源开路；
- 功率并不满足叠加定理；
- 受控源的控制量为叠加后的量，并且可以将其当作电源处理。
应用：① 可以用于分析有很多独立电源的电路；② “倒推法” 书P88
二、替代定理
前提：线性、非线性都行
结论：若某个一端口的电压为 $u$，电流为 $i$，则可以用 $u$ 的电压源 or $i$ 的电流源代替它。
区别：$\begin{cases}等效：伏安曲线要一致——不同的 u,i\替代：伏安曲线的某点相同——特定的 u,i\end{cases}$
特例：以下情况无法替代：
- 外部受控源的控制量在一端口内
- 替代后不能出现只有电压源的回路 or 只有电流源的结点
三、戴维宁定理和诺顿定理
前提：含线性电阻、电压源、受控源的一端口
结论：可等效成“电压源串电阻”（戴维宁定理）或“电流源并电阻”（诺顿定理）
证明：（见书 P92，挺有趣的）
求法：
- 电阻的求法同“求输入电阻”，但要先将电源置零。 开路求电压，短路求电流
- 直接求端口 $u,i$ 的伏安关系
四、最大功率传输
\[\begin{aligned} P&=\left(\frac{U_s}{R_s+R_L}\right)^2 \cdot R_L\\ &=\frac{U_s^2 R_L}{(R_s-R_L)^2+4R_sR_L}\\ &=\frac{U_s^2}{\frac{(R_s-R_L)^2}{R_L}+4 R_s} \end{aligned}\\ 当 R_L=R_s 时，P_\max=\frac{U^2}{4R_s}\] \[\begin{aligned} P&=\left(\frac{I_s}{G_s+G_L}\right)^2 \cdot G_L\\ &=\frac{I_s^2 G_L}{(G_s-G_L)^2+4G_sG_L}\\ &=\frac{I_s^2}{\frac{(G_s-G_L)^2}{G_L}+4 G_s} \end{aligned}\\ 当 G_L=G_s 时，P_\max=\frac{U^2}{4G_s}\]五 含运算放大器的电阻电路
概念
放大器：将输入电压放大一定倍数后输出。这个“倍数”称为 电压放大倍数 或 电压增益
运算放大器：高增益、高输入电阻、低输出电阻的放大器
模型
一、开环运行（仅作了解）
二、闭环运行——倒向比例器
三、理想运算放大器
- 前提：$R_i=\infty$，$R_o=0$，$A=\infty$
- 符号：
- 特性：虚断 $i^+=i^-=0$
虚短 $u^+=u^-$
解题时对同、反向输入端列 KCL 即可。
六 储能元件
知识点
电容元件：
- 元件特性：$q=Cu$，$C$ 的单位为 $\text{F}$ 法
- VCR：$i=\dfrac{\dif q}{\dif t}=C\dfrac{\dif u}{\dif t}$
$u=u_0+\frac{1}{C}\int_0^t i \dif t$
$q=q_0+\int_0^t i \dif t$ - 能量：$W=\int_{-\infty}^t ui \dif t = \frac{1}{2} Cu^2 \Big\vert_{-\infty}^t=\frac{1}{2}Cu_t^2$
电感元件：
- 元件特性：$\Psi=Li$，$L$ 的单位为 $\text{H}$ 亨
- VCR：$u=\dfrac{\dif \Psi}{\dif t}=L\dfrac{\dif i}{\dif t}$
$i=i_0+\frac{1}{L}\int_0^t u \dif t$
$\Psi=\Psi_0+\int_0^t u \dif t$ - 能量：$W=\int_{-\infty}^t ui \dif t =\frac{1}{2}Li^2 \Big\vert_{-\infty}^t=\frac{1}{2}Li_t^2$
Attention! 以上均为关联参考方向。
注：
① 电容的电压、电感的电流都取决于先前的值，故电容、电感称为记忆元件
② 电容、电感只能吸/放能，并不消耗/产生能量，故称为储能元件
模型
①电容串联：由 $u=u_0+\frac{1}{C}\int_0^t i \dif t$ 得：$u_\text{eq}=\sum u_0 + \sum \frac{1}{C}\cdot \int_0^t i \dif t$
故：$\frac{1}{C_\text{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots$
电容并联：由 $i=\dfrac{\dif q}{\dif t}=C\dfrac{\dif u}{\dif t}$ 得：$i_\text{eq}=\sum C \cdot \frac{\dif u}{\dif t}$
故：$C_\text{eq}=C_1+C_2+\cdots$
综上，电容≈$G$
②电感串联：由 $u=\dfrac{\dif \Psi}{\dif t}=L\dfrac{\dif i}{\dif t}$ 得：$u_\text{eq}=\sum L \cdot \frac{\dif i}{\dif t}$
故：$L_\text{eq}=L_1+L_2+\cdots$
电感并联：由 $i=i_0+\frac{1}{L}\int_0^t u \dif t$ 得：$i_\text{eq}=\sum i_0 + \sum \frac{1}{L}\cdot \int_0^t u \dif t$
故：$\frac{1}{L_\text{eq}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}+\cdots$
综上，电感≈$R$
第七章
概念
动态电路：含动态元件的电路
一阶电路：含一个动态元件的电路
知识点
环路定理：若环路前的电容电流/电感电压为有限值，换路后电容电压/电感电流不跃变。公式表述为：
\[u_C(0_+)=u_C(0_-),\; \int_{0_-}^{0^+} i \dif t = 0\\ i_L(0_+)=i_L(0_-),\; \int_{0_-}^{0^+} u \dif t = 0\]模型
① 零输入响应：仅由动态元件初始储能所产生的响应。
\[已知: R,C,u_C(0_+)\\ 由 \text{KVL}: \begin{cases} u_R-u_C=0\\ u_R=i\cdot R = - RC\dfrac{\dif u_C}{\dif t} \end{cases}\\ 故得一阶齐次方程: RC\dfrac{\dif u_C}{\dif t}+u_C=0\\ 易解出:u_C=u_C(0_+)\cdot e^{-t/RC}\\ 类比有:L\dfrac{\dif i}{\dif t}+Ri=0\\ 易解出:i_C=i_C(0_+)\cdot e^{-tR/L}\]
注：
1. 时间常数 $\tau=RC=\dfrac{L}{R}$，则两个解可统一为：$e^{-t/\tau}$，$\tau$ 反映过渡过程得进展速度，一般认为 $t=3\tau\sim5\tau$ 过渡过程结束。
2. 换路后电容电压/电感电流不跃变，但电容电流/电感电压可跃变。
② 零状态响应：动态元件初始储能为 0 时，由外加激励引起得响应。
\[RC \frac{\dif u_C}{\dif t}+u_C=U_s\\ 由初始条件:u_C(0)=0,\; u_C(\infty)=u_s\\ 得:u_C=U_s-U_s e^{-\frac{1}{\tau}t}\\ 其中，U_s 称为稳态分量，或强制分量\\ -U_s e^{-\frac{1}{\tau}t} 称为瞬态分量，或自由分量\]
注：
$$
W_R=\int_0^\infty i^2 R\dif t=\int_0^\infty\left(\frac{\dif u_C}{\dif t}\frac{C}{R}\right)^2 R\dif t\\
=\int_0^\infty\left(\frac{U_s}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^2 R\dif t\\
=\frac{1}{2} C U_s^2
$$
故电源释放的能量有一半用于充能，一半用于电阻，充电效率为 50%
③ 全相应：非零状态的电路受到激励。（以下结论不加证明地给出）
\[全响应= \begin{cases} 零输入+零状态\\ 稳态分量+瞬态分量 \end{cases}\]直流激励下，有：
\[f(t)=f(\infty)+[f(0_+)-f(\infty)]e^{ { -\frac{t}{\tau} } }\\ 称为三要素法，三要素指的是f(0_+),f(\infty),\tau\]正弦激励下，有：
\[f(t)=f'(t)+[f(0_+)-f'(0_+)] e^{-\frac{t}{\tau}}\]④ 二阶电路的零输入响应
RLC串联：设初始时，电容为 $u_0$，电感为 $i_0$，则有：
\[L\frac{\dif}{\dif t}\left(C\frac{\dif u_C}{\dif t}\right)+RC\frac{\dif u_C}{\dif t}+u_C=0\]若 $u_0\neq 0,i_0=0$，有下面三种情况：
- $(RC)^2>4LC$，非振荡放电（过阻尼） \(u_C=\frac{u_0}{p_2-p_1}(p_2e^{p_1t}-p_1e^{p_2t})\\ p_1,p_2为特征根\)
- $(RC)^2=4LC$，临界情况 \(u_C=U_0(1-\delta t)e^{-\delta t}\\ \delta 为重根\)
- $(RC)^2<4LC$，振荡放电（欠阻尼）
Attention 上面所有都是串联，若题目中出现并联，需要用戴维宁等效（对电源和R）
⑤ 阶跃响应
\[阶跃函数 \varepsilon(t)=\begin{cases}0&t<0 \\ 1&t>0\end{cases}\\ 注意区分 \begin{cases}f(t)\varepsilon(t-t_0) \\ f(t-t_0)\varepsilon(t-t_0)\end{cases}\]可看作零状态响应，只要照前面正常算，然后乘or加就好咯~
⑥ 冲激响应：对阶跃响应求导就好咯~
八 相量法
书中得解释太长无聊了，下面我用一点简单有趣但完全不失准确性的文字来解释一下。
首先，我们先要了解我们的目的，即解出电流、电压的大小。与前几章不同的是，激励不是直流电源，而是交流电源。交流最大的特定是什么？变化，用数学语言来说就是 $\cos$（$\sin$ 也行，统一起见，以后用 $\cos$）
上图（图以后补，现在先想象一下）就是一个再普通不过的 $\cos$ 了，用数学表示为 $y=A\cos(\omega x +\varphi)$，$A$ 是最大值，$\omega$ 是角频率，$\varphi$ 是初相。
三角函数有一个很神奇的性质：无论我们如何虐待它，它都是三角函数，无论求导、积分、加、减、乘、除（如果要抬杠的话，可能两个相同的三角函数相减或相除不太行）。所以可以想象，如果电源是交流电，那么，电路中所有的电压电流都是“交流”的。
尽管对三角函数运算不会改变其本质，但会改变其形式。比如对上面的 $y$ 求导，会得到 $y’=-\omega A\sin(\omega x+\varphi)=\omega A\cos(\omega x + \varphi+90^\circ)$，看吧，最大值和初相都变了，但是，有一个东西没变——角频率 $\omega$（加减运算也不会改变，数乘也不会改变）。
总结一下，交流电路中有两样东西不会变：$\cos$ 和角频率 $\omega$，我们只需要算 $A$ 和 $\varphi$ 即可。
Boom！那就是所有奥秘的开始。$A$ 和 $\varphi$ 一个是大小，一个是角度，那么它俩恰好可以表示极坐标下的一个点，或者说，一个向量。而对于角度实际意义是初“相”，为了区分数学的“向”量，我们将其改名为“相量”（实际还是向量），并记为 $A\angle \varphi$
所以，我们可以用“相量”进行运算（运算法则同向量）。比如说加法/减法：
\[A\angle\alpha \pm B\angle\beta = (A\cos\alpha\pm B\cos\beta, A\sin\alpha\pm B\sin\beta)\]为了简化右边的括号，我们引入虚数：$A\angle\alpha=A\cos\alpha+jA\sin\alpha$，用 $j$ 是为了区分电流。
至于积分：
\[\begin{aligned} \int A\angle\alpha&=\int A\cos(\omega t+\alpha)\\ &=\frac{A}{\omega}\sin(\omega t+\alpha)\\ &=\frac{A}{\omega}\cos(\omega t+\alpha-90^\circ)\\ &=\frac{A}{\omega}\angle(\alpha-90^\circ) \end{aligned}\]至于求导：
\[\begin{aligned} (A\angle\alpha)'&=[A\cos(\omega t+\alpha)]'\\ &=-A\omega\sin(\omega t+\alpha)\\ &=A\omega\cos(\omega t+\alpha+90^\circ)\\ &=A\omega\angle(\alpha+90^\circ) \end{aligned}\]至于乘除，则有点特殊，首先，必须是“数乘”，即不能两个都是相量（否则 $\omega$ 会变）。假设一个是相量 $A\angle\alpha$，一个是常数 $k\angle \varphi$（$\omega=0$ 的相量），则根据欧拉公式，有：
\[\begin{aligned} &k\angle \varphi \cdot A\angle\alpha \\ =& ke^\varphi \cdot Ae^\alpha \\ =& kA e^{(\alpha+\varphi)} \\ =& kA\angle(\alpha+\varphi) \end{aligned}\]什么，你不会欧拉公式，那就只能死算了：
\[\begin{aligned} &k\angle \varphi \cdot A\angle\alpha \\ =& k\cos\varphi \cdot A\cos(\omega t + \alpha) \\ =& kA\left[\cos\varphi\cos(\omega t+\alpha)-\sin\varphi\sin(\omega t+\alpha)\right]\\ &+jkA\left[\cos\varphi\sin(\omega t+\alpha)+\sin\varphi\cos(\omega t+\alpha)\right]\\ =&kA\cos(\omega t+\alpha+\varphi)+jkA\sin(\omega t+\alpha+\varphi)\\ =& kA\angle(\alpha+\varphi) \end{aligned}\]类比可以得到除法为 $A\angle\alpha \div k\angle \varphi=\frac{k}{A} \angle(\alpha-\varphi)$
将上面的运算法则用到电路中。如果电压 $u=\sqrt{2} U \cos(\omega t+\varphi)$，则记其的相量为 $\dot{U}=U\angle\varphi$，有个细节：我们一般用有效值运算，如果用最大值，则应记为 $\dot{U}_m=\sqrt{2}U\angle \varphi$
将这个电压加在一个电阻上，由 $i=\dfrac{u}{R}$，得 $\dot{I}=\dfrac{\dot{U}}{R}$
如果加在一个电容上，由 $i=C\dfrac{\dif u}{\dif t}$，得 $\dot{I}=\omega CU \angle (\varphi+90^\circ)$$=\omega C\angle 90^\circ \cdot \dot{U}$
如果加在一个电感上，由 $i=\dfrac{1}{L}\int u\dif t$，得 $\dot{I}=\dfrac{U}{\omega L} \angle(\varphi-90^\circ)$$=\frac{1}{\omega L}\angle (-90^\circ)\cdot \dot{U}$
可以发现，上面三个可以统一写成 $\dot{I}=\dfrac{\dot{U}}{Z}$ 的形式，根据元件的不同，$Z$ 取 $R$ 或 $\dfrac{1}{\omega C\angle 90^\circ}$ 或 $\omega L \angle 90^\circ$，我们将 $Z$ 称为阻抗，相应的，$Y=\frac{1}{Z}$ 称为导抗。
$Z,\dot{I},\dot{U}$ 就相当于直流中的 $R,i,u$，它们的运算方式是相似的，因而，我们可以将直流中的所有定理、方法推广到交流中。但是，要注意上面我所讲的内容中，始终没出现功率，因为功率会将电压电流相乘，会改变角频率 $\omega$，因此 $P \neq \dot{I}\dot{U}$