斐波那契数列(数据拟合)

目标

  1. 认识 Fibonacci 数列,体验发现其通项公式的过程。
  2. 了解 matlab 软件中,进行数据显示与数据拟合的方式。
  3. 提高对数据进行分析与处理的能力。

斐波那契数列

斐波那契数列(Fibonacci sequence)定义为:

实验过程

  1. 观察数据间的大概函数关系
  2. 进一步验证上一步得到的结论
  3. 获得数据的近似函数关系式
  4. 观察拟合数据与原始数据的吻合程度
  5. 猜测 Fibonacci 数列的通项公式
  6. 证明 Fibonacci 数列的通项公式

观察数据间的大概函数关系

我们编写如下函数:

x=[1:30];
y=fibonacci(x);
scatter(x,y,20);

得到的图像为:

进一步验证上一步得到的结论

我们可以尝试对 y 进行处理,比如取对数:

x=[1:30];
y1=log(fibonacci(x));
scatter(x,y1,20),

获得数据的近似函数关系式

可以发现,这个近似于一条直线,所以我们尝试用一次函数进行拟合:

x=[1:1000];
y1=log(fibonacci(x));
p=polyfit(x,y1,1)

得到:p = 0.4812 -0.8039,从而 $F_n=e^{0.4812x-0.8039}=0.4476\times1.618^x$

观察拟合数据与原始数据的吻合程度

作出拟合图像,发现还是挺好的。

x=[1:50];
y=fibonacci(x);
y_fit=0.4476*1.619.^x;
plot(x,y,':o',x,y_fit,'-*')
legend('fibonacci','polyfit')

猜测 Fibonacci 数列的通项公式

可以猜测 $F_n=Cr^n$,代入递推公式得 $r^2-r-1=0$,解得:

所以我们猜 $F_n=C\big( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \big)^n$,然而不满足 $F_1=F_2=1$。所以我们令 $b_n=F_n-Cr^n$,可得数列 $b_n$ 应该也满足递推公式,猜测 $b_n=\bar{C}\bar{r}^n$,其中,$\bar{r}$ 也满足 $r^2=r+1$。最终得到:

称为比内公式(Bint,1843).

推导

知乎:斐波那契数列通项公式是怎样推导出来的?