函数

  简单来说，如果我们对某个数 $x$ 进行变换 $f$ 得到了另一个数 $y$，我们就把这种变换称为 函数，写作 $y=f(x)$，举个例子：我们现在有 $x=1$，我们将它乘 $2$，即 $2\times x$，就得到了 $y=2$，那么这个函数就是 $y=f(x)=2x$

  如果从中文上理解的话，函数就是一个数中「函（含）」有另一个数。

  函数有很多种，最简单的就是下面几种：

• 幂函数
• 指数函数
• 对数函数
• 三角函数

  我们一个一个介绍。

幂函数

  幂就是次方，比如一次方就是 $x^1$，二次方就是 $x^2$. 相应的，$y=x^1$，$y=x^2$ 这些都是幂函数。我们统一将幂函数写成：

\[y=x^a\]

  根据 $a$ 的不同，我们有

• 反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$
• 一次函数 $y=x$
• 二次函数 $y=x^2$
• 三次函数 $y=x^3$

每个函数的特点可以见下图。

一次函数

指数函数

  指数函数和幂函数很相似。

\[幂函数 \; y=x^a\\ 指数函数 \; y=a^x\]

  可以看出，我们只需要将幂函数的 $x$ 与 $a$ 调换就得到了指数函数。

  指数函数的最大特点就是“指数爆炸”。一种比较有趣的说法是：一张纸对折30次能比珠穆朗玛峰高，即：

\[纸的厚度：0．02 \text{ mm}\\ 对折30次后：0.02 \times 2^{30}=21474.8 \text{ m}\\ 珠穆朗玛峰的高度：8848 \text{ m}\]

对数函数

  对数函数与指数函数也很相似。

\[指数函数 \; y=a^x\\ 对数函数 \; y=\log_a x\]

  你可能会说，这哪相似了？那换种写法：

\[指数函数 \; y=a^x\\ 对数函数 \; a^y=x\]

  也就是说，我们将指数函数的 $x$ 和 $y$ 对调就得到了对数函数。从图像上看会更明显：

三角函数

  三角函数的定义如下：

常用的三角函数如下：

\[\sin 60^\circ = \cos 30^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\\ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\]