基础概念
质点、参考系
- 机械运动:一个物体相对另一个物体的位置发生变化。这里的位置包含两层含义,一个是距离,一个是方向。机械运动可以分为:
- 平动:刚体自身的质点之间不发生相对运动,只是整体的移动。(比如人走路)
- 直线运动
- 曲线运动
- 转动:在整体运动的同时,刚体自身的质点也相对质心发生转动。(比如芭蕾舞)
- (高中阶段只研究平动)
- 平动:刚体自身的质点之间不发生相对运动,只是整体的移动。(比如人走路)
- 质点:
- 理想化模型,现实不存在
- 只有质量,没有大小
- 条件:相对性
- 参考系:就是参照物。一般是地面,或匀速直线运动的物体
位移、路程
- 位移:一个从起点指向终点的有向线段(矢量,有大小和方向)
- 路程:运动轨迹的长短(标量,有大小,无方向)
位移 $\vec{x}$ 与 路程 $s$ 的关系:$s \geq \vert \vec{x} \vert$,当且仅当单向直线运动时,等号成立。
判断题:当位移为 0 时,路程可能不为 0.
时间、时刻
- 时间:时间轴上的某个区间(过程量)
- 时刻:时间轴上的某个点(状态量)
在时间轴上标出:
① 2s 初,2s 末
② 2s 内
③ 第 2s 内
速度、速率
- 速度:
- 意义:描述物体位置变化的快慢
- 符号:$\vec{v}$(矢量)
- 定义式:$\vec{v}=\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}=\dfrac{\vec{x}_1 - \vec{x}_2}{t}$,方向与 $\Delta{x}$ 方向相同
- 平均速度与瞬时速度
- 平均速度:一段时间的速度
- 瞬时速度:某个时刻的速度
- 速率(瞬时速率)
- 定义式:$v=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ 标量)
- 速率就是生活中说的“速度”
- 平均速率
- 定义式:$v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$
问:瞬时速度与瞬时速率哪个大?平均速度和平均速率哪个大?
加速度
- 加速度:
- 意义:描述运动速度变化的快慢
- 符号:$\vec{a}$(矢量)
- 定义式:$\vec{a}=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$
判断:在直线运动中,
① $a$ 与 $v$ 不同向,则是减速运动
② $a$ 为负,则是减速运动
判断:在运动过程中,
① $a$ 与 $v$ 不同向,则是减速运动
② $a$ 与 $v$ 不同向,则不是直线运动
v-t 图
$v-t$ 图,即横轴是时间,纵轴是速度的图像。可以用来描述直线运动。合理使用 $v-t$ 图,可以帮助我们记忆公式,理清题目。本节将结合 $v-t$ 图介绍匀速直线运动与匀加速直线运动。
匀速直线运动
匀速直线运动的速度保持不变,所以 $v-t$ 图是一条水平线:
在研究匀速直线运动时,我们常常指定一个方向为正,另一个方向为负(并且不加矢量箭头)。从图中可以看出,速度 $v=v_0$ 为正,说明物体向正方向运动。
如果我们要求 $t_1$ 到 $t_2$ 这段时间内物体的位移,由初中知识可知:
\[s=v_0\cdot (t_2-t_1)\]观察图像可以发现,$v_0\cdot (t_2-t_1)$ 恰好就是图中间矩形的面积,更准确的描述是:$t_1$ 到 $t_2$ 之间,速度与时间轴围成的面积。也就是说,我们可以把求位移转换成求面积。
匀加速直线运动
匀加速直线运动的速度以恒定的加速度增加或减少,所以 $v-t$ 图是一条斜向上或斜向下的直线:
我们考虑 $t_1$ 到 $t_2$ 的位移,也就是中间那个梯形
\[s = \frac{1}{2}\cdot(v_1+v_2)\cdot (t_2-t_1)\]注意到 $v_1$ 经过了 $(t_2-t_1)$ 时长的加速后变为了 $v_2$,也就是说:
\[v_2 = v_1+a\cdot (t_2-t_1)\]我们将 $v_2$ 代入位移的表达式中:
\[\begin{aligned} s &= \frac{1}{2}\cdot [v_1+v_1+a\cdot (t_2-t_1)] \cdot (t_2-t_1)\\ &=\frac{1}{2}\cdot [2v_1+a\cdot (t_2-t_1)] \cdot (t_2-t_1)\\ &=v_1(t_2-t_1)+\frac{1}{2}a\cdot (t_2-t_1)^2 \end{aligned}\]为了好看,我们一般定义 $t=t_2-t_1$,那么位移的表达式为:
\[s=v_1 t + \frac{1}{2} a t^2\]我们可以结合下图来记忆:
我们也可以换种说法,从 $v_1$ 加速到 $v_2$ 所需的时间为:$t_2-t_1=\dfrac{v_2-v_1}{a}$,那么把 $t$ 代入第一个位移公式:
\[\begin{aligned} s &= \frac{1}{2}\cdot(v_1+v_2)\cdot (t_2-t_1)\\ &=\frac{1}{2} \cdot \frac{(v_2+v_1)(v_2-v_1)}{a}\\ &=\frac{v_2^2-v_1^2}{2a} \end{aligned}\\ 整理后有 v_2^2-v_1^2=2as\]我们可以结合下图来记忆:
总结一下:
条件 | 公式 |
---|---|
已知初速度、加速度、时间 不知道末速度 |
$s=v_1 t + \frac{1}{2} a t^2$ |
已知初速度、加速度、末速度 不知道时间 |
$s=\dfrac{v_2^2-v_1^2}{2a}$ |
问:仿照上面的过程,推导:
① 已知初速度、时间、末速度,不知道时间
② 已知末速度、加速度、时间,不知道初速度
注:一般来说,初速度用 $v_0$ 来表示。但有时候可能要求多段匀变速直线运动的位移,所以建议把 $t_1$ 时刻的速度设为 $v_1$,把 $t_2$ 时刻的速度设为 $v_2$ … 以此类推。
特殊的直线运动
自由落体运动
- 自由落体运动指的是:只在重力作用下,从静止开始的自由下落
- 本质:初速度为 0 的匀加速直线运动
- 重力加速度:$g \approx 9.8 \, {\rm m/s^2} \approx 10 \, {\rm m/s^2}$
- 公式: \(\begin{cases} v=gt\\ h=\frac{1}{2} gt^2\\ v^2=2gh \end{cases}\)
问:“反应尺”可以用来测量反应时间(如图),开始时,你的手在 0 刻度的位置,当同学放开尺子后,你抓住的位置在 $16.2 \, {\rm cm}$ 处。问反应时间为多长?($g$ 取 $10 \, {\rm m/s^2}$)
问:小明将小球以 $1\,{\rm m/s}$ 的速度竖直向上抛,问需要多长时间到达最高点?
扩展:铁球和羽毛哪个落得快?(伽利略的比萨斜塔实验)
追及运动
A、B 相距 $x$,A 做初速度为 $v_0$,加速度大小为 $2a$ 的匀减速直线运动。B 同时做初速度为零,加速度为 $a$ 的匀加速直线运动,A、B 运动方向相同,要使 A、B 不相撞,求 A 的初速度 $v_0$ 应满足什么条件?
解法一:临界条件法
刚好相遇时:$v_A=v_B\tag{1}$
A 减速:$v_A=v_0-2at\tag{2}$
B 加速:$v_B=at\tag{3}$
两者路程满足:$v_0t-\frac{1}{2}\cdot 2a t^2 = x+\frac{1}{2}at^2 \tag{4}$
由上四式,解得:$v_0=\sqrt{6ax}$
故 $v_0$ 满足 $v_0 < \sqrt{6ax}$
解法二:函数法
假如相遇:$v_0t-\frac{1}{2}\cdot 2a t^2 = x+\frac{1}{2}at^2$
化简得:$\frac{3}{2}at^2-v_0t+x=0$
要不相撞,即 $t$ 无解,$\Delta<0$
$$
(-v_0)^2-4\cdot \frac{3}{2}ax< 0
$$
解得:$v_0< \sqrt{6ax}$
解法三:图像法
由图可知:$\frac{1}{2}\cdot v_0 \cdot \frac{v_0}{3a}< x$
解得:$v_0<\sqrt{6ax}$
![追及问题](assets/images/追及问题.jpg)
解法四:相对运动法(慎用)
以 B 为参考系,A 的加速度为 $a'=2a+a=3a$
A 减速到零:$v_0^2=2a'x$
解得:$v_0=\sqrt{6ax}$
故:$v_0\leq \sqrt{6 a x}$
小车与打点计时器
注意几点:
- 如何平衡摩擦力?
- 如何求某点的瞬时速度?
- 如何求加速度?(如何减小误差?)
运动的合成与分解
就是矢量的合成与分解。
规律:
- $t\rightarrow 等时性$
- $v,s,a \rightarrow 矢量合成\rightarrow 独立、等效、同一性$
请自行去看 百度文库:小船渡河
抛体运动
抛体运动包括:
- 平抛
- 水平方向上:匀速直线运动
- 竖直方向上:初速度为 0 的匀加速直线运动(自由落体)
- 斜抛
- 水平方向上:匀速直线运动
- 竖直方向上:初速度不为 0 的匀加速直线运动
以平抛为例,我们只需要列对应方向上的方程:
\[\begin{aligned} &水平: \begin{cases} v_x = v_0\\ x = v_0 t \end{cases}\\ &竖直: \begin{cases} v_y = gt\\ y = \frac{1}{2} gt^2 \end{cases} \end{aligned}\]注意这两个方程共享着一个变量 $t$
除此之外,还有一个比较有趣的结论。如果设 $\tan \alpha = \dfrac{y}{x}$,$tan \beta = \dfrac{v_y}{v_x}$,那么:
\[\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{2} gt^2}{v_0 t}=\frac{\frac{1}{2} gt}{v_0}\\ tan \beta = \dfrac{v_y}{v_x}=\frac{gt}{v_0}\\ \Rightarrow \tan\alpha = \frac{1}{2}\tan\beta\]这个结论经常用在平抛与斜面结合的题目
多选题:如图所示,在斜面上 A 点,以水平速度 $v_0$ 抛出一个小球,不计空气阻力,它第一次落地的水平距离为 $x_1$;若将此球改用 $2v_0$ 水平速度抛出,第一次落地的水平距离为 $x_2$。则 $x_1:x_2$ 可能为:
A. $1:2$ B. $1:3$ C. $1:4$ D. $1:5$