\[\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\belowarrow}[1]{\mathop{#1}\limits_{\uparrow}} \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \newcommand{\L}{\mathscr{L}} \newcommand{\red}{\color{red}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \end{align*}\]

牛顿三定律

第一定律

历史：

• 亚里士多德：力是维持物体运动的原因
• 伽利略：理想斜面实验（事实→理想）

牛顿第一定律：无外力时，一切物体总保持……或……状态（不是实验定律）

理解：

• 一切物体具有惯性
• 力是改变物体运动状态的原因
  • 运动状态（速度）包括：大小、方向

第二定律

牛顿第二定律：$a=\dfrac{F}{m}$

理解：

• $F$ 是因，$a$ 是果
• 矢量性、同一性、瞬时性

第三定律

牛顿第三定律：相互作用力（两个物体、等大、反向、共线）

理解：

• 异物性（无法抵消）
• 同时性
• 同性质
• 任何情况都成立

与平衡力的区别：

	作用力	平衡力
作用物体个数	2个	同一个
性质	相同	可不同
关系	依存	不依存

圆周运动

概念

• 周期 $T$，单位 ${\rm s}$
• 转速 $n$，单位 ${\rm r/s}$
• 频率 $f$，单位 ${\rm Hz}$

• 三者的关系：$T=\dfrac{1}{f}$，$f=n$

• 线速度 $v=\dfrac{2\pi r}{T}$，单位 ${\rm m/s}$
• 角速度 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$，单位 ${\rm rad/s}$

• 二者的关系：$v=\omega r$

• 向心加速度：$a=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2 r = \omega v$

如果想知道向心加速度是怎么推导出来的，可以去看：知乎：向心力加速度公式 a=v²/r 是怎么推导出来的（要详细过程）？，我这里给出一种简单的推导方式：

已知 $v=\omega r$，对两边求导，有：

\[\frac{\Delta v}{\Delta t} = \omega \frac{\Delta r}{\Delta t}\\ \Rightarrow a = \omega v\]

简单解释一下，加速度指的是速度的变化快慢，如果在 $\Delta t$ 内，速度的变化了 $\Delta v$，那么加速度就是 $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$。而在 $\Delta t$ 内，矢量 $r$ 转动了一个很小的距离 $\Delta r$，这个距离就是 $v \Delta t$，所以 $v=\dfrac{\Delta r}{\Delta t}$

扩展：角速度是矢量还是标量？

向心力

• 定义：物体做匀速圆周运动所受的合外力
• 大小：$F= ma = m \dfrac{v^2}{r}=m\omega^2 r$
• 方向：指向圆心，垂直于速度
• 效果：改变 $v$ 的方向，不改变 $v$ 的大小

问：下面三种情况中，哪个是离心运动，哪个是近心运动？
① $F_合 > F_向$
② $F_合 = F_向$
③ $F_合 < F_向$

万有引力

历史：

• 地心说
• 日心说（哥白尼）
• 第谷
• 开普勒（总结第谷的资料）
  • 开普勒三定律
    1. 轨道：椭圆
    2. 面积：时间相同，扫过的面积相同（只针对同一颗行星）
    3. 周期：$\dfrac{a^3}{T^2}=K$（$a$ 是半长轴，$K$ 与中心天体的质量有关）
• 牛顿：万有引力定律（如下）

\[F = G\frac{m_1m_2}{r^2}\\ 引力常数\, G=6.67\times 10^{-11} \,{\rm N\cdot m^2/kg^2}\]

卫星的发射

• 第一宇宙速度 $v_1=7.9 \,{\rm km/s}$ 卫星发射的最小速度
• 第二宇宙速度 $v_2=11.2 \,{\rm km/s}$ 卫星挣脱地球引力的最小速度
• 第三宇宙速度 $v_3=16.7 \,{\rm km/s}$ 卫星挣脱太阳引力的最小速度

这里我们只需要掌握第一宇宙速度的运算方法（两种都可以）：

1. 万有引力提供向心力：$G \dfrac{mM}{r^2}=m\dfrac{v_1^2}{r}$ $\Rightarrow v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$
2. 重力提供向心力：$mg=m\dfrac{v_1^2}{r}$ $\Rightarrow v_1=\sqrt{gr}$

我们可以稍微验算一下：

\[\begin{aligned} v_1 &= \sqrt{\dfrac{6.67\times 10^{-11}\times 5.97\times 10^{24}}{6.36\times10^6}}=7.913\times 10^3 \,{\rm m/s}\\ v_1 &= \sqrt{10\times 6.36\times 10^6}=7.975\times10^3 \,{\rm m/s} \end{aligned}\]

卫星的运行

\[G\frac{mM}{r^2}= \begin{cases} ma \rightarrow a=\frac{GM}{r^2}\\ m\frac{v^2}{r} \rightarrow v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\\ m\omega^2 r\rightarrow \omega=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}\\ m \left(\frac{2\pi}{T}\right)\rightarrow T = 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{GM}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \propto \dfrac{1}{r^2}\\ v \propto \dfrac{1}{\sqrt{r}}\\ \omega \propto \dfrac{1}{\sqrt{r^3}}\\ T\propto \sqrt{r^3} \end{cases}\\ 总而言之就是：越高越慢\]

注：

1. $r,a,v,\omega,T$ 与 $m$ 无关，且其中任意一个确定，其他也确定。
2. 同一卫星，半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大。

有一个卫星比较特殊，叫“同步卫星”，关于同步卫星只需要记住三点：

1. 周期一定：24h
2. 轨道一定：赤道上空
3. 方向一定：地球自转方向

天体质量与密度

公式中，$\blue{蓝色的}$是题目给出的条件，$\red{红色的}$是要求的量，常数和无关紧要的量就还是黑色。

质量

1. 着地法：$m \blue{g} = G \dfrac{m\red{M}}{\blue{R}^2}$ $\rightarrow \red{M} = \dfrac{\blue{gR}^2}{G}$
2. 环绕法：
   1. $G\dfrac{m\red{M}}{\blue{r}^2}=m(\dfrac{2 \pi}{\blue{T}})^2\blue{r}$ $\rightarrow \red{M}=\dfrac{4\pi^2 \blue{r}^3}{G \blue{T}^2}$
   2. $G\dfrac{m\red{M}}{\blue{r}^2}=m \dfrac{\blue{m}}{\blue{r}}$ $\rightarrow \red{M}=\dfrac{\blue{r}\blue{v}^2}{G}$
   3. $G\dfrac{m\red{M}}{r^2}=m\dfrac{\blue{v}^2}{r}=m(\dfrac{2\pi}{\blue{T}})^2r$ $\rightarrow \red{M}=\dfrac{\blue{Tv}^3}{2\pi G^2}$

密度

1. 着地法： \(\begin{aligned} m \blue{g} &= G\dfrac{\red{M}m}{\blue{R}^2}\\ \red{M}&=\red{\rho}\cdot \frac{4}{3} \pi \blue{R}^3 \end{aligned} \rightarrow \red{\rho} = \frac{3 \blue{g}}{4 \pi G \blue{R}}\)
2. 近地环绕法： \(\begin{aligned} G\dfrac{\red{M}m}{r^2} &= m (\dfrac{2\pi}{\blue{T}})^2 r\\ \red{M}&=\red{\rho}\cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \end{aligned} \xrightarrow{r\approx R} \red{\rho} = \frac{3 \pi}{G\blue{T}^2}\)

还有一些比较有趣的方法，比如角度法、双重力法、同步卫星观察法等，这些可以在做题时留意一下。

双星问题

如图所示，两颗星围绕着公共点做周期相同的匀速圆周运动，周期为 $T$，两星之间的距离为 $r$，求 $m_1+m_2$

对 $m_1$：

\[G \frac{m_1m_2}{r} = m_1 (\frac{2\pi}{T})^2 r_1\\ m_2 = \frac{4\pi^2 r^2}{GT^2} r_1\]

对 $m_2$：

\[G \frac{m_1m_2}{r} = m_2 (\frac{2\pi}{T})^2 r_2\\ m_1 = \frac{4\pi^2 r^2}{GT^2} r_2\]

两者相加：

\[m_1+m_2=\frac{4\pi^2 r^2}{GT^2} (r_1+r_2)=\frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}\]

推论：

\[m_1r_1=m_2r_2 \rightarrow r \propto \frac{1}{m}\\ \frac{r^3}{T^2} \propto m_1+m_2 \rightarrow 满足开三\\ T=2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G(m_1+m_2)}}\]