物体的运动

基础概念

质点、参考系

  1. 机械运动:一个物体相对另一个物体的位置发生变化。这里的位置包含两层含义,一个是距离,一个是方向。机械运动可以分为:
    • 平动:刚体自身的质点之间不发生相对运动,只是整体的移动。(比如人走路)
      • 直线运动
      • 曲线运动
    • 转动:在整体运动的同时,刚体自身的质点也相对质心发生转动。(比如芭蕾舞)
    • (高中阶段只研究平动)
  2. 质点
    1. 理想化模型,现实不存在
    2. 只有质量,没有大小
    3. 条件:相对性
  3. 参考系:就是参照物。一般是地面,或匀速直线运动的物体

位移、路程

  1. 位移:一个从起点指向终点的有向线段(矢量,有大小和方向)
  2. 路程:运动轨迹的长短(标量,有大小,无方向)

位移 $\vec{x}$ 与 路程 $s$ 的关系:$s \geq \vert \vec{x} \vert$,当且仅当单向直线运动时,等号成立。

判断题:当位移为 0 时,路程可能不为 0.

时间、时刻

  1. 时间:时间轴上的某个区间(过程量)
  2. 时刻:时间轴上的某个点(状态量)

在时间轴上标出:
① 2s 初,2s 末
② 2s 内
③ 第 2s 内

速度、速率

  1. 速度:
    • 意义:描述物体位置变化的快慢
    • 符号:$\vec{v}$(矢量)
    • 定义式:$\vec{v}=\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}=\dfrac{\vec{x}_1 - \vec{x}_2}{t}$,方向与 $\Delta{x}$ 方向相同
  2. 平均速度与瞬时速度
    • 平均速度:一段时间的速度
    • 瞬时速度:某个时刻的速度
  3. 速率(瞬时速率)
    • 定义式:$v=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ 标量)
    • 速率就是生活中说的“速度”
  4. 平均速率
    • 定义式:$v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

问:瞬时速度与瞬时速率哪个大?平均速度和平均速率哪个大?

加速度

  1. 加速度:
    • 意义:描述运动速度变化的快慢
    • 符号:$\vec{a}$(矢量)
    • 定义式:$\vec{a}=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

判断:在直线运动中,
① $a$ 与 $v$ 不同向,则是减速运动
② $a$ 为负,则是减速运动

判断:在运动过程中,
① $a$ 与 $v$ 不同向,则是减速运动
② $a$ 与 $v$ 不同向,则不是直线运动

v-t 图

$v-t$ 图,即横轴是时间,纵轴是速度的图像。可以用来描述直线运动。合理使用 $v-t$ 图,可以帮助我们记忆公式,理清题目。本节将结合 $v-t$ 图介绍匀速直线运动与匀加速直线运动。

匀速直线运动

匀速直线运动的速度保持不变,所以 $v-t$ 图是一条水平线:

匀速直线运动

在研究匀速直线运动时,我们常常指定一个方向为正,另一个方向为负(并且不加矢量箭头)。从图中可以看出,速度 $v=v_0$ 为正,说明物体向正方向运动。

如果我们要求 $t_1$ 到 $t_2$ 这段时间内物体的位移,由初中知识可知:

观察图像可以发现,$v_0\cdot (t_2-t_1)$ 恰好就是图中间矩形的面积,更准确的描述是:$t_1$ 到 $t_2$ 之间,速度与时间轴围成的面积。也就是说,我们可以把求位移转换成求面积。

匀加速直线运动

匀加速直线运动的速度以恒定的加速度增加或减少,所以 $v-t$ 图是一条斜向上或斜向下的直线:

匀加速直线运动

我们考虑 $t_1$ 到 $t_2$ 的位移,也就是中间那个梯形

注意到 $v_1$ 经过了 $(t_2-t_1)$ 时长的加速后变为了 $v_2$,也就是说:

我们将 $v_2$ 代入位移的表达式中:

为了好看,我们一般定义 $t=t_2-t_1$,那么位移的表达式为:

我们可以结合下图来记忆:

匀变速直线运动2

我们也可以换种说法,从 $v_1$ 加速到 $v_2$ 所需的时间为:$t_2-t_1=\dfrac{v_2-v_1}{a}$,那么把 $t$ 代入第一个位移公式:

我们可以结合下图来记忆:

匀加速直线运动3

总结一下:

条件 公式
已知初速度、加速度、时间
不知道末速度
$s=v_1 t + \frac{1}{2} a t^2$
已知初速度、加速度、末速度
不知道时间
$s=\dfrac{v_2^2-v_1^2}{2a}$

问:仿照上面的过程,推导:
① 已知初速度、时间、末速度,不知道时间
② 已知末速度、加速度、时间,不知道初速度

注:一般来说,初速度用 $v_0$ 来表示。但有时候可能要求多段匀变速直线运动的位移,所以建议把 $t_1$ 时刻的速度设为 $v_1$,把 $t_2$ 时刻的速度设为 $v_2$ … 以此类推。

特殊的直线运动

自由落体运动

  1. 自由落体运动指的是:只在重力作用下,从静止开始的自由下落
  2. 本质:初速度为 0 的匀加速直线运动
  3. 重力加速度:$g \approx 9.8 \, {\rm m/s^2} \approx 10 \, {\rm m/s^2}$
  4. 公式:

问:“反应尺”可以用来测量反应时间(如图),开始时,你的手在 0 刻度的位置,当同学放开尺子后,你抓住的位置在 $16.2 \, {\rm cm}$ 处。问反应时间为多长?($g$ 取 $10 \, {\rm m/s^2}$)

问:小明将小球以 $1\,{\rm m/s}$ 的速度竖直向上抛,问需要多长时间到达最高点?

扩展:铁球和羽毛哪个落得快?(伽利略的比萨斜塔实验)

追及运动

A、B 相距 $x$,A 做初速度为 $v_0$,加速度大小为 $2a$ 的匀减速直线运动。B 同时做初速度为零,加速度为 $a$ 的匀加速直线运动,A、B 运动方向相同,要使 A、B 不相撞,求 A 的初速度 $v_0$ 应满足什么条件?

解法一:临界条件法
刚好相遇时:$v_A=v_B\tag{1}$
A 减速:$v_A=v_0-2at\tag{2}$
B 加速:$v_B=at\tag{3}$
两者路程满足:$v_0t-\frac{1}{2}\cdot 2a t^2 = x+\frac{1}{2}at^2 \tag{4}$
由上四式,解得:$v_0=\sqrt{6ax}$
故 $v_0$ 满足 $v_0 < \sqrt{6ax}$

解法二:函数法
假如相遇:$v_0t-\frac{1}{2}\cdot 2a t^2 = x+\frac{1}{2}at^2$
化简得:$\frac{3}{2}at^2-v_0t+x=0$
要不相撞,即 $t$ 无解,$\Delta<0$
$$ (-v_0)^2-4\cdot \frac{3}{2}ax< 0 $$
解得:$v_0< \sqrt{6ax}$

解法三:图像法
由图可知:$\frac{1}{2}\cdot v_0 \cdot \frac{v_0}{3a}< x$
解得:$v_0<\sqrt{6ax}$
![追及问题](assets/images/追及问题.jpg)

解法四:相对运动法(慎用)
以 B 为参考系,A 的加速度为 $a'=2a+a=3a$
A 减速到零:$v_0^2=2a'x$
解得:$v_0=\sqrt{6ax}$
故:$v_0\leq \sqrt{6 a x}$

小车与打点计时器

注意几点:

  1. 如何平衡摩擦力?
  2. 如何求某点的瞬时速度?
  3. 如何求加速度?(如何减小误差?)

运动的合成与分解

就是矢量的合成与分解。

规律:

  • $t\rightarrow 等时性$
  • $v,s,a \rightarrow 矢量合成\rightarrow 独立、等效、同一性$

请自行去看 百度文库:小船渡河

抛体运动

抛体运动包括:

  • 平抛
    • 水平方向上:匀速直线运动
    • 竖直方向上:初速度为 0 的匀加速直线运动(自由落体)
  • 斜抛
    • 水平方向上:匀速直线运动
    • 竖直方向上:初速度不为 0 的匀加速直线运动

以平抛为例,我们只需要列对应方向上的方程:

注意这两个方程共享着一个变量 $t$

除此之外,还有一个比较有趣的结论。如果设 $\tan \alpha = \dfrac{y}{x}$,$tan \beta = \dfrac{v_y}{v_x}$,那么:

这个结论经常用在平抛与斜面结合的题目

多选题:如图所示,在斜面上 A 点,以水平速度 $v_0$ 抛出一个小球,不计空气阻力,它第一次落地的水平距离为 $x_1$;若将此球改用 $2v_0$ 水平速度抛出,第一次落地的水平距离为 $x_2$。则 $x_1:x_2$ 可能为:
A. $1:2$  B. $1:3$ C. $1:4$ D. $1:5$