牛顿运动定律与万有引力

牛顿三定律

第一定律

历史:

  • 亚里士多德:力是维持物体运动的原因
  • 伽利略:理想斜面实验(事实→理想)

牛顿第一定律:无外力时,一切物体总保持……或……状态(不是实验定律)

理解:

  • 一切物体具有惯性
  • 力是改变物体运动状态的原因
    • 运动状态(速度)包括:大小、方向

第二定律

牛顿第二定律:$a=\dfrac{F}{m}$

理解:

  • $F$ 是因,$a$ 是果
  • 矢量性、同一性、瞬时性

第三定律

牛顿第三定律:相互作用力(两个物体、等大、反向、共线)

理解:

  • 异物性(无法抵消)
  • 同时性
  • 同性质
  • 任何情况都成立

与平衡力的区别:

  作用力 平衡力
作用物体个数 2个 同一个
性质 相同 可不同
关系 依存 不依存

圆周运动

概念

  • 周期 $T$,单位 ${\rm s}$
  • 转速 $n$,单位 ${\rm r/s}$
  • 频率 $f$,单位 ${\rm Hz}$
  • 三者的关系:$T=\dfrac{1}{f}$,$f=n$

  • 线速度 $v=\dfrac{2\pi r}{T}$,单位 ${\rm m/s}$
  • 角速度 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$,单位 ${\rm rad/s}$
  • 二者的关系:$v=\omega r$

  • 向心加速度:$a=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2 r = \omega v$

如果想知道向心加速度是怎么推导出来的,可以去看:知乎:向心力加速度公式 a=v²/r 是怎么推导出来的(要详细过程)?,我这里给出一种简单的推导方式:

已知 $v=\omega r$,对两边求导,有:

简单解释一下,加速度指的是速度的变化快慢,如果在 $\Delta t$ 内,速度的变化了 $\Delta v$,那么加速度就是 $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$。而在 $\Delta t$ 内,矢量 $r$ 转动了一个很小的距离 $\Delta r$,这个距离就是 $v \Delta t$,所以 $v=\dfrac{\Delta r}{\Delta t}$

扩展:角速度是矢量还是标量?

向心力

  • 定义:物体做匀速圆周运动所受的合外力
  • 大小:$F= ma = m \dfrac{v^2}{r}=m\omega^2 r$
  • 方向:指向圆心,垂直于速度
  • 效果:改变 $v$ 的方向,不改变 $v$ 的大小

问:下面三种情况中,哪个是离心运动,哪个是近心运动?
① $F_合 > F_向$
② $F_合 = F_向$
③ $F_合 < F_向$

圆周运动

万有引力

历史:

  • 地心说
  • 日心说(哥白尼)
  • 第谷
  • 开普勒(总结第谷的资料)
    • 开普勒三定律
      1. 轨道:椭圆
      2. 面积:时间相同,扫过的面积相同(只针对同一颗行星)
      3. 周期:$\dfrac{a^3}{T^2}=K$($a$ 是半长轴,$K$ 与中心天体的质量有关)
  • 牛顿:万有引力定律(如下)

卫星的发射

  • 第一宇宙速度 $v_1=7.9 \,{\rm km/s}$ 卫星发射的最小速度
  • 第二宇宙速度 $v_2=11.2 \,{\rm km/s}$ 卫星挣脱地球引力的最小速度
  • 第三宇宙速度 $v_3=16.7 \,{\rm km/s}$ 卫星挣脱太阳引力的最小速度

这里我们只需要掌握第一宇宙速度的运算方法(两种都可以):

  1. 万有引力提供向心力:$G \dfrac{mM}{r^2}=m\dfrac{v_1^2}{r}$ $\Rightarrow v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$
  2. 重力提供向心力:$mg=m\dfrac{v_1^2}{r}$ $\Rightarrow v_1=\sqrt{gr}$

我们可以稍微验算一下:

卫星的运行

注:

  1. $r,a,v,\omega,T$ 与 $m$ 无关,且其中任意一个确定,其他也确定。
  2. 同一卫星,半径越大,动能越小,势能越大,机械能越大。

有一个卫星比较特殊,叫“同步卫星”,关于同步卫星只需要记住三点:

  1. 周期一定:24h
  2. 轨道一定:赤道上空
  3. 方向一定:地球自转方向

天体质量与密度

公式中,$\blue{蓝色的}$是题目给出的条件,$\red{红色的}$是要求的量,常数和无关紧要的量就还是黑色。

质量

  1. 着地法:$m \blue{g} = G \dfrac{m\red{M}}{\blue{R}^2}$ $\rightarrow \red{M} = \dfrac{\blue{gR}^2}{G}$
  2. 环绕法:
    1. $G\dfrac{m\red{M}}{\blue{r}^2}=m(\dfrac{2 \pi}{\blue{T}})^2\blue{r}$ $\rightarrow \red{M}=\dfrac{4\pi^2 \blue{r}^3}{G \blue{T}^2}$
    2. $G\dfrac{m\red{M}}{\blue{r}^2}=m \dfrac{\blue{m}}{\blue{r}}$ $\rightarrow \red{M}=\dfrac{\blue{r}\blue{v}^2}{G}$
    3. $G\dfrac{m\red{M}}{r^2}=m\dfrac{\blue{v}^2}{r}=m(\dfrac{2\pi}{\blue{T}})^2r$ $\rightarrow \red{M}=\dfrac{\blue{Tv}^3}{2\pi G^2}$

密度

  1. 着地法:
  2. 近地环绕法:

还有一些比较有趣的方法,比如角度法、双重力法、同步卫星观察法等,这些可以在做题时留意一下。

双星问题

双星问题

如图所示,两颗星围绕着公共点做周期相同的匀速圆周运动,周期为 $T$,两星之间的距离为 $r$,求 $m_1+m_2$

对 $m_1$:

对 $m_2$:

两者相加:

推论: