随机变量的数字特征练习题

题型

利用定义与性质求期望和方差

  • $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$
  • 若 $X,Y$ 相互独立,则 $D(aX+bY+c)=a^2 D(X)+b^2D(Y)$

例题:$X,Y$ 独立且同分布,均服从 $N(0,\frac{1}{2})$,求 $\vert X-Y \vert $ 的期望和方差

解:
$$ \because X,Y 独立\\ \therefore (X-Y) \sim N(0, 1)\\ $$
令 $U=X-Y$,则:
$$ \begin{align} E(|U|)&=\int_{-\infty}^{+\infty} |u| \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{u^2}{2}} \dif u\\ &=\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{+\infty} u\cdot e^{-\frac{u^2}{2}} \dif u\\ &= \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{+\infty} (\frac{u^2}{2})^0 e^{-\frac{u^2}{2}} \dif (\frac{u^2}{2})\\ &= \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \end{align} $$
$$ D(|U|)=E(|U|^2)-[E(|U|)]^2\\ 而 E(|U|^2)=E(U^2)=D(U)+[E(U)]^2=1\\ D(|U|)=1-\frac{2}{\pi} $$


例题:$X\sim f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2x-1}$,求 $EX$,$DX$

解:
$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} } \cdot e^{-\frac{(x-1)^2}{2\left(\sqrt{1/2}\right)^2}}\\ X\sim N(1,\frac{1}{2})\\ EX=1, DX=\frac{1}{2} $$


例题:$X\sim\pi(\lambda)$,$E[(x-1)(x-2)]=1$,求 $\lambda$

解:$E(X)=\lambda$,$D(X)=\lambda$
$$ 1=EX^2-3EX+2\\ \because EX^2 = DX+(EX)^2=\lambda + \lambda^2\\ \therefore \lambda + \lambda^2 - 3 \lambda + 2 =1\\ \lambda^2-2\lambda +1=0\Rightarrow \lambda=1 $$


例题:$X\sim f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} & 0\lt x \lt \pi\\ 0 & 其他 \end{cases}$,对 $X$ 观察 4 次,$Y$ 为 $X>\frac{\pi}{3}$ 的次数,求 $EY^2$

解:$Y$ 只有两个取值,并且每次观察相互独立,故为二项分布 $Y\sim B(4,p)$
$$ p=\int_\frac{\pi}{3}^\pi \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} \dif x = \frac{1}{2} \\ \therefore Y \sim B(4,\frac{1}{2})\\ EY = 2 \; DY=1\\ EY^2 = DY+(EY)^2=5 $$