统计基础练习题

\[\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\Cov}{\text{Cov}} \end{align*}\]

本章需要掌握的重点:

  • 常见的统计量:
    • 样本均值:$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$
    • 样本方差:$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$
    • k阶原点矩:$A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$
    • k 阶中心矩:$B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^k$
  • 三个抽样分布:
    • $\chi^2$分布:n 个标准正态分布的平方和 $\sum X_i^2 \sim \chi^2(n)$
    • $t$分布:标准正态 $X$ 与 $\chi^2$ 分布 $Y$ 的组合 $\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$
    • $F$ 分布:两个自由度分别为 $m,n$ 的 $\chi^2$ 分布 $X,Y$ 的组合:$\frac{X/m}{Y/n}\sim F(m,n)$
  • 单个正态总体的样本统计量的分布
    • $\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
    • $\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
    • $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$
    • $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
    • $ES^2 = \sigma^2$
    • $\overline{X}$ 与 $S^2$ 相互独立