多元随机变量的数字特征

定义

若 $E(X^k)$ 存在,则称为 $X$ 的 k 阶(原点)矩

若 $E{ [X-E(X)]^k }$ 存在,则称之为 $X$ 的 k 阶中心矩

期望就是一阶原点矩,方差就是二阶中心矩

若 $E(X^k Y^l)$ 存在,则称之为 $X,Y$ 的 k+l 阶混合原点矩

若 $E{ [X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l }$,则称之为 $X,Y$ 的 k+l 阶混合中心矩

多元随机变量的数字特征

设 $n$ 元随机变量 $\tilde{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T$,若其每一分量的数学期望都存在,则称:

为 $n$ 元随机变量 $\tilde{X}$ 的 数学期望

设 $n$ 元随机变量 $\tilde{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T$,若 $\Cov(X_i,Y_j$ 都存在,则称:

为 $n$ 元随机变量 $\tilde{X}$ 的 协方差矩阵(对称非负定矩阵)

n元正态分布

性质1 $n$ 元正态随机变量的子向量 $(X_{i_1}, \cdots,X_{i_k})$ 均服从 k 元正态分布

性质2 $n$ 元随机变量服从正态分布 $\Leftrightarrow$ $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 的任意线性组合 $l_0+l_1X_1+l_2X_2+\cdots+l_nX_n$ 服从一元正态分布,其中 $l_i$ 不全为 0

性质3 $n$ 元正态随机变量 $\tilde{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T$,若 $Y_1,Y_2,\cdot,Y_k$ 是 $X_i$ 的线性函数,则 $(Y_1,Y_2,\cdots,Y_k)^T$ 也服从 $k$ 元正态分布。(正态变量的线性变换不变性)

性质4 $n$ 元正态随机变量,$X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 两两不相关 $\Leftrightarrow$ $\tilde{x}$ 的协方差矩阵为对角矩阵