二元连续随机变量

分布函数

联合分布函数

设 $(X,Y)$ 是二元随机变量,二元函数:

称为二元随机变量 $(X, Y)$ 的 联合分布函数。(同样适用于离散型)

二维随机变量

性质

  1. $0\leq F(x,y) \leq 1$
  2. $F(x,y)$ 关于 $x,y$ 单调增
  3. $F(x,y)$ 关于 $x,y$ 右连续
    • $F(+\infty, +\infty)=1$
    • $F(-\infty, y)=F(x, -\infty)=F(-\infty, -\infty)=0$
    • $F(-\infty, +\infty)=F(+\infty, -\infty)=0$
  4. 若 $x_1<x_2$,$y_1<y_2$,则有

边际分布函数

$F_X(x)=F(x,+\infty)=P(X\leq x)$,$F_Y(y)=F(+\infty, y)=P(Y\leq y)$ 称为 $X,Y$ 的边际分布函数

条件分布函数

若 $P(Y=y)>0$,则在 $Y=y$ 条件下,$X$ 的条件分布函数为:

但对于连续型随机变量,$F(Y=y)=0$,所以我们换另一种定义:

联合概率密度

对于二元随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$,如果存在非负可积函数 $f(x,y)$,有:

则称 $(X,Y)$ 为二元连续型随机变量,并称 $f(x,y)$ 为联合概率密度函数

性质:

  1. $f(x,y)>0$
  2. $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{y=-\infty}^{+\infty} f(u,v) \dif u \dif v =1$
  3. $P((X,Y)\in D)=\iint_D f(x,y)\dif x\dif y$

边际概率密度

若联合概率密度为 $f(x,y)$,则边际概率密度

根据 $F_X(x)$ 的定义有:

条件概率密度

对于固定的 $y$,$f_Y(y)>0$,且 $f_Y(y)$ 连续,则在 $Y=y$ 的条件下,$X$ 的条件概率密度为:

常见的二元分布

均匀分布

$D$ 为有界区域,$(X,Y)$ 的联合分布为:

记为:$(X,Y) \sim U(D)$

正态分布

记为 $(X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$

我们不需要记那一大串公式,但要把上一行的写法记住。

注:二元正态分布的边缘分布是正态分布,但是,两个一元分布的组合不一定是二元正态分布。

独立

定义 若满足 $F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$ ,则称 $(X,Y)$ 独立。

但是这种方法并不好判断。我们常用如下等价条件:

定价条件

  • 离散型:$X,Y$ 独立 $\Leftrightarrow$ $p_{ij} = p_{i\cdot} \times p_{\cdot j}$
  • 连续型:$X,Y$ 独立 $\Leftrightarrow$ $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

Z=X+Y 的分布

设 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$,则 $Z=X+Y$ 的分布函数为:

而概率密度 $f_Z(z)$ 为:

当 $X$ 和 $Y$ 相互独立时,$Z$ 的概率密度公式称为卷积公式

特殊的,独立的两个正态分布相加还是正态分布,并满足:

  1. $\xi_1\sim \rm{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$,$\xi_2\sim \rm{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$,$\xi_1,\xi_2$ 独立,$\eta=\xi_1+\xi_2$,则:$\eta\sim \rm{N}(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$
  2. $\xi_1\sim \rm{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$,$\xi_2\sim \rm{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$,$\xi_1,\xi_2$ 独立,$\eta=a\xi_1+b\xi_2$,则:$\eta\sim \rm{N}(a\mu_1+b\mu_2, a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$

Z=X/Y 的分布

若 (X,Y) 的概率密度为:$p(x,y)$,则:

(待证)