二元离散随机变量

联合分布律

定义

若二元随机变量 $(X, Y)$ 全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对,则称 $(X, Y)$ 是二元离散型随机变量。若 $(X, Y)$ 所有可能的取值为 $(x_i, y_j)$,则 $P(X=x_i, Y=y_j)=p_{ij}, i,j=1,2…$ 称为二元离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率分布律,简称为 $(X,Y)$ 的分布律。

我们可以用如下表格来表示:

联合分布律的性质:

  1. $p_{ij}>0$
  2. $\sum_i\sum_j p_{ij}=1$

例题:一个盒子中有 10 件产品,6件正品,4 件次品。从中取 1 件产品检验,不放回,再取一件。引入如下随机变量:
$$ X= \begin{cases} 0 & 第 1 次取到次品\\ 1 & 第 1 次取到正品 \end{cases} \quad Y= \begin{cases} 0 & 第 2 次取到次品\\ 1 & 第 2 次取到正品 \end{cases} $$
求 $(X,Y)$ 的联合分布律

解:$(X,Y)$ 的所有可能取值数有:$(0,0)$,$(0,1)$,$(1,0)$,$(1,1)$
由乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B\vert A)$ 得: $$ P(X=0, Y=0)=P(X=0)P(Y=0\vert X=0)=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9}=\frac{2}{15}\\ P(X=0, Y=1)=\frac{4}{10}\times \frac{6}{9}=\frac{2}{15}\\ P(X=1, Y=0)=\frac{6}{10}\times \frac{4}{9}=\frac{4}{15}\\ P(X=0, Y=1)=\frac{6}{10}\times \frac{5}{9}=\frac{5}{15}\\ $$

边际分布

$X, Y$ 的边际分布律是:

从图中可以更清楚的看出,$P(X=x_i)$ 就是行相加,$P(Y=y_j)$ 就是列相加。因为写在表格的边儿上,所以我们称为 边际分布律边缘分布律

条件分布

对于二元离散随机变量 $X,Y$ 的联合概率分布律为:

对于固定的 $y_j$,若 $P(Y=y_j)>0$ 则称:

为在 $Y=y_j$ 条件下,随机变量 $X$ 的条件分布律。

独立

为了便于对照,将二元连续随机变量的独立也写在这里。

定义 若满足 $F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$ ,则称 $X,Y$ 独立。

但是这种方法并不好判断。我们常用如下等价条件:

等价条件

  • 离散型:$X,Y$ 独立 $\Leftrightarrow$ $p_{ij} = p_{i\cdot} \times p_{\cdot j}$
  • 连续型:$X,Y$ 独立 $\Leftrightarrow$ $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

我们有以下定理成立:

定理一 $X_1, X_2,\cdots, X_n$ 独立且均服从 $B(1,p)$,则 $X_1+\cdots+X_n\sim B(n,p)$

定理二 $X\sim B(n,p)$ ,$Y\sim B(n_2,p)$,则 $X+Y\sim B(n_1+n_2, p)$

定理三 $X\sim\pi(\lambda_1)$,$Y\sim\pi(\lambda_2)$ 两者独立,则 $X+Y\sim \pi(\lambda_1+\lambda_2)$

(待证明)

min/max

$X,Y$ 相互独立,则:

做题技巧:min 要用 $>,\geq$; max 要用 $<,\leq$