事件独立性

事件独立性

事件独立性指的是 A 是否发生不影响 B 的概率,也就是说,$P(A\vert B)=P(B)$。因此我们有如下定义:

定义

设 $A,B$ 是两事件,如果满足等式 $P(AB)=P(A)P(B)$ 则称事件 $A,B$ 独立

对于三个事件 $A,B,C$ 独立,则要求满足:

注释

  1. 若 $P(A)>0,P(B)>0$ 且 $A,B$ 独立,则 $P(A\vert B)=P(A)$,$P(B\vert A)=P(B)$
  2. $A,B$ 独立 $\Leftrightarrow$ $\bar{A},B$ 独立$\Leftrightarrow$ $A,\bar{B}$ 独立 $\Leftrightarrow$ $\bar{A},\bar{B}$ 独立 (利用减法和加法公式证明)
  3. 若 $P(A)=0或1$,则 $A,B$ 必然独立

  4. $P(A)>0$,$P(B)>0$。若 $A,B$ 独立,则 $AB \neq \varnothing$。反之,若 $AB = \varnothing$,则 $A,B$ 不独立。

  5. 独立是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生机会,而不相容是指事件不可能同时发生
  6. 可以扩展到 $n$ 个事件独立:$P(A_1A_2\cdot A_n)=\prod_{i=1}^nA_i$

已知$P(A)=0.5$,$P(B)=0.4$,求下列情况下 $P(A\cup B)$
(1)$A,B$独立 (2)$A,B$不相容
(3)$A \in B$ (4)$P(AB)=0.3$

(1)$P(A\cup B)=1-P(\bar{A}\bar{B})=1-P(\bar{A})P(\bar{B})=0.7$
(2)$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.9$ (3)$P(A\cup B)=P(A)=0.5$ (4)$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6$

小概率事件