一元随机变量练习题

基础知识

  • 一元连续随机变量及分布
  • 一元离散随机变量及分布

题型

题型一 随机变量函数的分布:$X$ 分布已知,求 $Y=g(x)$ 的分布(密度函数)。

解题步骤如下:

  1. 写 $X$ 的密度函数
  2. 写出 $Y$ 的分布函数(这里需要讨论范围)
  3. 写出 $Y$ 的密度函数

例题:$X\sim U(0,2)$,$Y=x^2+1$,求 $f_Y(y)$

解:
$$ f_X(x) = \begin{cases} 1/2 & 0<x<2\\ 0 & 其他 \end{cases} $$
由于 $x\in (0,2)$,故 $x^2+1 \in (1,5)$,可分为下面三种情况:
(1) $y<1$,$F_Y(y)=0$
(2) $y\geq 5$,$F_Y(y)=1$
(3) $1\leq y<5$, $$ \begin{align} F_Y(y) &= P(Y\leq y) = P(x^2+1\leq y)\\ &=P\{0 < x \leq \sqrt{y-1}\}\\ &= \int_0^{\sqrt{y-1}} 1/2 \dif x\\ &= \frac{1}{2} \sqrt{y-1}\\ \end{align} $$ $$ \therefore f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{4\sqrt{y-1}} & 1<y<5\\ 0 & 其他 \end{cases} $$