一元连续随机变量

连续随机变量与概率密度

定义 对于随机变量 $X$ 的分布函数,若存在非负函数 $f(x)$,使得对于任意实数 $x$ 有:

则称 $X$ 为 连续型随机变量,其中 $f(x)$ 称为 $X$ 的 概率密度函数,简称 概率密度

注意 性质:

  1. $f(x)\geq 0$
  2. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\dif x=1$
  3. $P(x_1<X<x_2)=\int_{x_1}^{x_2} f(t)\dif t$
  4. 在 $f(x)$ 连续点,$F’(x)=f(x)$,也就是落在 $(x, x+\dif x)$ 内的概率为 $f(x)\dif x$
  5. 另外,$F(x)$ 一定连续

$f_1(x), f_2(x)$ 是两个概率密度,问 $f_1(x)\cdot f_2(x)$,$f_1(x)+f_2(x)$ 是否是概率密度?

$f_1(x)\cdot f_2(x)$ 和 $f_1(x)+f_2(x)$ 都不是,因为不满足第2条性质。

均匀分布

定义 若 $X$ 的概率密度函数为:

则称 $X$ 服从 $(a,b)$ 上的均匀分布(Uniform),记为 $X\sim \text{U}(a,b)$ 或 $X\sim \text{Unif}(a,b)$

指数分布

定义 若 $X$ 的概率密度函数为:

则称 $X$ 服从 指数分布,记为 $X \sim E(\lambda)$。其分布函数为:

正态分布

定义 若 $X$ 的概率分布函数为:

则称 $X$ 服从参数为 $\mu,\sigma$ 的 正态分布(高斯分布) 记为 $X\sim\text{N}(\mu, \sigma^2)$

特征

  1. $f(x)$ 关于 $x=\mu$ 对称
  2. $x\leq\mu$ 时,是严格单调递增函数
  3. $f_\max=f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$
  4. $\lim_{\vert x-\mu \vert\rightarrow\infty} f(x)=0$
  5. 改变 $\mu$,图像的形状不变,中心平移,$\mu$称为 位置参数
  6. 改变 $\sigma$,图像的中心不变,形状改变,且 $\mu$ 越大,图像越胖。$\sigma$ 称为 尺度参数(决定曲线的分散程度)

正态分布的概率计算

若 $X\sim\text{N}(\mu, \sigma^2)$,对实数 $x$:

然而这个积分极难求出原函数,完全算不出来。所幸,我们可以借助标准正态分布来计算。

定义 若 $Z\sim\text{N}(0,1)$,称 $Z$ 服从标准正态分布,其概率密度函数为:$\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}$,分布函数为 $\Phi(z)=\int_{-\infty}^z \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2} \dif t$。以后 $\varphi(z)$,$\Phi(z)$ 默认表示标准正态分布。

标准正态分布的概率分布函数已经计算出来了,我们能查表得到特定值的概率。(注意:$\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ )

那么如何计算一般的正态分布呢?我们有如下性质:

性质 当 $X\sim\text{N}(\mu,\sigma^2)$ 时,$\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\text{N}(0,1)$

证明 对于任意实数 $z$

由这条性质可知,当 $X\sim\text{N}(\mu,\sigma^2)$ 时,要计算 $P(X\leq a)$,可以转化为:$(X\leq a)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq\frac{a-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})$

例题:$X\sim N(\mu,\sigma^2)$,$y^2+4y+X=0$ 无实根的概率是 1/2,问 $\mu = ?$

解:无实根即 $\Delta = 16-4X<0$,即 $X>4$,$P(X>4)=1/2$,$\therefore \mu = 4$


以上列出的分布要熟记。